Construir una función diferenciable y periódica

Question

Estoy buscando un diferenciable y periódica función $f$ de manera que se cumplan las siguientes condiciones:

$1)$ $f(x_i) = y_i,~ $ para un determinado $x_i,y_i$ , $ \forall i \in \{0,1,...,n-1\}$ ;

$2)$ $f(x_{i+kn}) = f(x_i), ~ \forall k \in \mathbb{Z}$ ;

$3)$ $ x_{j} - x_{j-1} = \Delta x~ (constant),~\forall j \in \mathbb{Z}.$

¿Existe algún método para construir una función de este tipo?

Agradezco algunas pistas/referencias para solucionar este problema. Gracias de antemano.

Answer 1

Supongamos que el número de puntos $n$ es impar . Por ejemplo, considere $x_0 = -2$ , $x_1 = -1$ , $x_2 = 0$ , $x_3 = 1$ y $x_4 = 2$ y $y_0 = 4$ , $y_1 = 2, y_2 = 1, y_3 = -1$ y $y_4 = -2$ ( $n=5$ ).

En este caso $\Delta x = 1$ mientras que el periodo es $T = n\Delta x = 5.$

Puede intentar encontrar su función utilizando una serie de Fourier truncada de orden $m = \frac{n-1}{2}:$

$$f(x) = \frac{a_0}{2} + \sum_{k=1}^{m}\left(a_k \cos\left(\frac{2\pi xk}{T}\right) + b_k \sin\left(\frac{2\pi xk}{T}\right)\right). $$

En su caso, $m=2$ y tienes que encontrar los parámetros $a_0$ , $a_1$ , $a_2$ , $b_1$ y $b_2$ . Son $5$ , que es el mismo número de puntos disponibles $n$ . Esto es muy importante.

Ahora, puedes sustituir los puntos disponibles por la función $f$ :

$$\begin{cases} f(x_0) = y_0 \\ f(x_1) = y_1 \\ f(x_2) = y_2 \\ f(x_3) = y_3 \\ f(x_4) = y_4 \end{cases} \Rightarrow\\ \begin{cases} \frac{a_0}{2} + \sum_{k=1}^{2}\left(a_k \cos\left(\frac{-4\pi k}{5}\right) + b_k \sin\left(-\frac{4\pi k}{5}\right)\right) = 4\\ \frac{a_0}{2} + \sum_{k=1}^{2}\left(a_k \cos\left(\frac{-2\pi k}{5}\right) + b_k \sin\left(-\frac{2\pi k}{5}\right)\right) = 2\\ \frac{a_0}{2} + \sum_{k=1}^{2}\left(a_k \cos\left(0\right) + b_k \sin\left(0\right)\right) = 1\\ \frac{a_0}{2} + \sum_{k=1}^{2}\left(a_k \cos\left(\frac{2\pi k}{5}\right) + b_k \sin\left(\frac{2\pi k}{5}\right)\right) = -1\\ \frac{a_0}{2} + \sum_{k=1}^{2}\left(a_k \cos\left(\frac{4\pi k}{5}\right) + b_k \sin\left(\frac{4\pi k}{5}\right)\right) = -2\\ \end{cases}.$$

Este sistema puede reescribirse en forma matricial:

$$\begin{bmatrix} \frac{1}{2} & \cos\left(-\frac{4\pi}{5}\right) & \cos\left(-\frac{8\pi}{5}\right) & \sin\left(-\frac{4\pi}{5}\right) & \sin\left(-\frac{8\pi}{5}\right)\\ \frac{1}{2} & \cos\left(-\frac{2\pi}{5}\right) & \cos\left(-\frac{4\pi}{5}\right) & \sin\left(-\frac{2\pi}{5}\right) & \sin\left(-\frac{4\pi}{5}\right)\\ \frac{1}{2} & \cos\left(0\right) & \cos\left(0\right) & \sin\left(0\right) & \sin\left(0\right)\\ \frac{1}{2} & \cos\left(\frac{2\pi}{5}\right) & \cos\left(\frac{4\pi}{5}\right) & \sin\left(\frac{2\pi}{5}\right) & \sin\left(\frac{4\pi}{5}\right)\\ \frac{1}{2} & \cos\left(\frac{4\pi}{5}\right) & \cos\left(\frac{8\pi}{5}\right) & \sin\left(\frac{4\pi}{5}\right) & \sin\left(\frac{8\pi}{5}\right)\\ \end{bmatrix} \cdot \begin{bmatrix} a_0 \\ a_1 \\ a_2\\ b_1\\ b_2 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 4 \\ 2 \\ 1\\ -1\\ -2 \end{bmatrix}.$$

Si la matriz es invertible, ¡has terminado!

En este caso, obtengo lo siguiente:

$$ a_0 \simeq 1.6, a_1 \simeq -0.1236, a_2 \simeq 0.32, b_1 \simeq -2.5520, b_2 \simeq 1.5772.$$

Este es el aspecto de esta función: Adición El número de puntos debe ser impar, ya que el número de parámetros de la serie de Fourier truncada también es impar. Para tener un sistema de ecuaciones bien planteado, es necesario tener tantas incógnitas (los parámetros) como datos disponibles, así como el mismo número de ecuaciones.

Para más detalles sobre las series de Fourier, mira aquí .