Reducir $\int_0^\infty x^n e^{-ax}\,\mathrm{d}x$

Question

Para un número entero positivo $n$ una integral de la forma $\int_0^\infty x^n e^{-ax}\,\mathrm{d}x$ se reducirá a $\frac{n!}{a^{n+1}}$ . Esto se puede demostrar aplicando sucesivamente la integración por partes y observando que la $\left.f(x)g(x)\right|_0^\infty$ términos se desvanecen. El primer término de este tipo $f(x)g(x)$ es $\left.-\frac{1}{a}e^{-ax}x^n\right|_0^\infty$ . Está claro que una exponencial "vencerá" a cualquier función de potencia como $x$ tiende a infinito, pero ¿cómo se demuestra esto analíticamente dada la forma indeterminada de la expresión en el límite infinito? Supongo que aplicando la regla de L'Hôpital $n$ veces, pero quería comprobarlo.

Tras aplicar la integración por partes $n$ veces, el único término que no desaparece es de la forma $\frac{n!}{a^n} \int_0^\infty e^{-ax}\,\mathrm{d}x$ que simplemente se evalúa como $\frac{n!}{a^n} \left(\left.\frac{-1}{a} e^{-ax}\right)\right|_0^\infty = \frac{n!}{a^{n+1}}$ .

Sin embargo, en el caso de los números no enteros $n$ Me estoy atascando después de integrar por partes $\lfloor n\rfloor$ tiempos. Después de consultar las tablas de integración, me doy cuenta de que la solución es $\frac{\Gamma(n+1)}{a^{n+1}}$ lo que tiene sentido dado que los factoriales para los no enteros $n$ se evalúan mediante la función gamma. Sin embargo, no estoy seguro de cómo mostrar esto analíticamente. Si se procede como antes aplicando sucesivamente la integración por partes ( $\lfloor n \rfloor$ veces) para reducir la integral $\int_0^\infty x^n e^{-ax}\,\mathrm{d}x$ entonces el $\lfloor n \rfloor$ términos de la forma $\left.f(x)g(x)\right|_0^\infty$ desaparecen y uno se queda con un término final de la forma $\frac{n!}{a^{n}} \int_0^\infty e^{-ax}x^{n-\lfloor n \rfloor}\,\mathrm{d}x$ , donde $0<n-\lfloor n \rfloor<1$ . Esto es análogo al caso anterior de los positivos $n\in\mathbb{Z}$ excepto por el residuo $x^{n-\lfloor n \rfloor}$ término. Otra aplicación de la integración por partes no ayudaría, ya que simplemente reduciría el exponente de $x$ a un valor negativo, y la integración por partes podría continuar ad infinitum . En lugar de continuar la integración por partes ad infinitum El $\Gamma$ aparece la función ¿Cómo se resuelve esta paradoja y se llega así a la solución $\frac{\Gamma(n+1)}{a^{n+1}}$ ? Muchas gracias.

Answer 1

Puede utilizar la sustitución, y ver el $\Gamma$ aparece de inmediato. La integración por partes confunde un poco las cosas, ya que definimos los factoriales para los enteros mediante la multiplicación iterada, así que con cualquier número no entero tendrás problemas, así que es mejor usar $\Gamma$ directamente:

$$ax = u$$

$$\frac{1}{{{a^{n + 1}}}}\int\limits_0^\infty {{u^n}{e^{ - u}}dx} = \frac{{\Gamma \left( {n + 1} \right)}}{{{a^{n + 1}}}}$$

Answer 2

Para su primera pregunta: Sí, para $a>0$ , escriba $x^n e^{-ax}$ como $x^n\over e^{ax}$ y observamos que aplicando la regla de L'Hopital $n$ -tiempo se justifica y le dejará encontrar $\lim\limits_{x\rightarrow\infty} {n!\over a^n e^{ax}}$ . Entonces se puede evaluar este límite por otro razonamiento ver que es 0. (nota también al "enchufar" el límite inferior $x=0$ se obtiene 0).

Así que

$${-1\over a} x^ne^{-ax} \Bigl|_0^\infty = {-1\over a} \lim\limits_{x\rightarrow\infty} { x^n\over e^{ ax}}-0 = {-1\over a} \lim\limits_{x\rightarrow\infty} {n!\over a^n e^{ax}} =0.$$