Solución de la EDP en tiempo grande y pequeño

Question

Tengo la siguiente solución para una EDP

$$ u(x,t)=(2x+4t-10)+2e^{\frac{-1}{2}t}+\sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^n cos(\frac{n\pi}{2}x)e^{\frac{-1}{4}n^2\pi^2t}}{n^3\pi^3(n^2\pi^2-2)} $$

Quiero encontrar los dos primeros términos de la expansión asintótica de u(x, t) como $t\rightarrow 0$ y $t\rightarrow \infty$ (fijo) $x$ ). Se agradecerá cualquier consejo o sugerencia.

Answer 1

La suma $\Sigma(\cdots)$ es un serie asintótica como $t \to \infty$ por lo que los dos primeros términos de la expansión de $u(x,t)$ como $t \to \infty$ son simplemente los dos términos que no decrecen exponencialmente, a saber

$$ u(x,t) \sim \underbrace{4t}_\text{first} + \underbrace{2x-10}_\text{second} + \cdots $$ como $t \to \infty$ .

Ahora, los dos primeros términos de la expansión como $t \to 0$ debe ser lo que se obtiene cuando se sustituye $e^{-n^2\pi^2t/4}$ y $e^{-t/2}$ por los dos primeros términos de su serie de Taylor. Es decir,

$$ e^{-n^2\pi^2t/4} \approx 1 - \frac{n^2\pi^2}{4}t \qquad \text{and} \qquad e^{-t/2} \approx 1 - \frac{1}{2}t, $$

por lo que deberíamos tener

$$ \sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^n cos(\frac{n\pi}{2}x)e^{-n^2\pi^2t/4}}{n^3\pi^3(n^2\pi^2-2)} \approx \sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^n cos(\frac{n\pi}{2}x)}{n^3\pi^3(n^2\pi^2-2)} - \frac{1}{4} t \sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^n cos(\frac{n\pi}{2}x)}{n\pi(n^2\pi^2-2)}. $$

Esperamos que esto funcione ya que la nueva serie que obtenemos tras multiplicar el sumando por $n^2$ sigue convergiendo, pero hasta donde yo sé esto no constituye una prueba. De todos modos, deberíamos tener por tanto

$$ u(x,t) \sim 2x - 10 + 2 - t + \sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^n cos(\frac{n\pi}{2}x)}{n^3\pi^3(n^2\pi^2-2)} - \frac{1}{4} t \sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^n cos(\frac{n\pi}{2}x)}{n\pi(n^2\pi^2-2)} + \cdots $$

o, después de agrupar los términos,

$$ u(x,t) \sim \underbrace{2x - 8 + \sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^n cos(\frac{n\pi}{2}x)}{n^3\pi^3(n^2\pi^2-2)}}_\text{first} - \underbrace{\left(1 + \frac{1}{4}\sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^n cos(\frac{n\pi}{2}x)}{n\pi(n^2\pi^2-2)}\right) t}_\text{second} + \cdots $$ como $t \to 0$ .

Demostrarlo podría ser complicado ya que la estimación $e^{-n^2\pi^2t/4} \approx 1 - n^2\pi^2t/4$ no es válida para los grandes $n$ . Probablemente se puede proceder truncando la suma después de $\lfloor 1/t \rfloor$ términos y mostrando que el error acumulado no es demasiado grande.