Estoy tratando de decir algo sobre la asintótica de $$\int_{\mathbb{R}} e^{cx - x^{4/3}}dx$$ como $c \to +\infty$ y necesito una comprobación de cordura. Según tengo entendido, el método de Laplace consiste en escribir $$q(x) = x-c^{-1}x^{4/3}$$ y nota que $q(x)$ tiene un máximo global en $x_{0} = \frac{27c^{3}}{81}$ . Entonces se deduce que $$\int_{\mathbb{R}}e^{cq(x)}dx \lesssim e^{c q(x_{0}})\int_{\mathbb{R}} e^{-c|q''(x_{0})|(x-x_{0})^{2}/2}dx$$ Y como la integral de la derecha es una gaussiana, de hecho $$\int_{\mathbb{R}}e^{cq(x)}dx \lesssim e^{c q(x_{0})}\sqrt{\frac{2\pi}{c|q''(x_{0})|}}$$ Así que explícitamente en mi caso $$\int_{\mathbb{R}} e^{cx - x^{4/3}}dx \lesssim \frac{9\sqrt{2\pi}}{8}ce^{\frac{27}{256}c^{4}}$$ Lo que me preocupa es $q''(x) = -\frac{4}{9c}x^{-2/3}$ . Las pruebas del método de Laplace que he visto sólo PARECEN requerir $q''(x)$ sea continua en una vecindad de $x_{0}$ con $q''(x_{0}) < 0$ . Esto me servirá, sin duda, cuando $c > 0$ . Pero, ¿me estoy perdiendo algo?
Respuesta
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La versión del Método de Laplace que conozco utiliza ese $q(x)$ no depende de $c$ . Si intentas ampliarla, necesitas alguna condición de uniformidad adicional para demostrar que el resto de la función no contribuye. Aquí hay un contraejemplo cuando sólo se supone que el máximo está siempre en $x_0$ y la segunda derivada es constante allí.
Sea el intervalo $[-1,1]$ y que $q(x,c) = \max (-x^2,-1/c^2).$ Esto significa que $q(x,c) = -x^2$ en un barrio de $0$ cuya anchura depende de $c$ , $[-1/c, 1/c]$ y es plana por fuera. Dejemos que $f(x,c) = c q(x,c).$
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Para cada $c$ , $q(x,c)$ tiene un máximo global en $x=0$ y la segunda derivada con respecto a x es -2. Sin embargo,
$$\int_{-1}^1 e^{f(x,c)} dx ~\large{\nsim} ~ e^{c q(x_0,c)} \sqrt{\frac{2\pi}{c|q''(x_0,c)|}}= \sqrt{\frac{\pi}{c}}.$$
De hecho,
$$\lim_{c \to \infty}\int_{-1}^1 e^{f(x,c)} dx = 2.$$
La parte de $\exp(f(x,c))$ cerca de $0$ no domina la integral.
