Todos los campos vectoriales invariantes a la izquierda son invariantes a la derecha: ¿Cuál es mi fallo de razonamiento

Question

Entiendo que la conclusión es absurda. Pero este es mi razonamiento.

Dejemos que $G$ sea un grupo de mentiras, sea $x \in \mathfrak{g}=T_e(G)$ y que $\gamma(t)$ sea un homomorfismo $\mathbb{R} \to G$ tal que $\gamma'(0)=x$ . Entonces, para cualquier $t_0, t$ , $$L_{\gamma(t_0)}(\gamma(t))=\gamma(t+t_0):=\delta(t),$$ $$ (L_{\gamma(t_0)})_* (\gamma'(0))=\delta'(0)=\gamma'(t_0).$$ Con el mismo argumento $(R_{\gamma(t_0)})_*(\gamma'(0))=\gamma'(t_0)$ .

Esto muestra $\gamma(t)$ es el flujo único del campo vectorial invariante de la izquierda $v_x^L$ definido por $v_x^L(g)=dL_g x$ tal que $\gamma(0)=e$ . Del mismo modo, $\gamma(t)$ es también el flujo del campo vectorial $v_x^R$ definido por $v_x^R(g)=dR_g x$ tal que $\gamma(0)=e$ . Por lo tanto, $v_x^L(\gamma(t))=\gamma'(t)=v_x^R(\gamma(t))$ .

Como hay un subgrupo de un parámetro que pasa por cualquier elemento del grupo $g \in G$ esto aparentemente muestra que $v_x^L(g)=v_x^R(g)$ para todos $g \in G$ .

¿Qué ocurre?

Answer 1

Su argumento establece el siguiente teorema (verdadero).

Dejemos que $v\in T_e G$ y que $\gamma:\mathbb{R}\rightarrow G$ sea el único homomorfismo para el que $\gamma'(0) = v$ . Dejemos que $X_v$ denota el único campo vectorial invariante a la izquierda con $X_v(e) = v$ y, del mismo modo, dejemos que $Y_v$ denotan el correspondiente campo vectorial invariante derecho. Entonces, para cualquier punto de la forma $\gamma(t_0)$ , $X_v(\gamma(t_0)) = Y_v(\gamma(t_0))$ .

Sin embargo, esto no no significa que todo campo vectorial invariante a la izquierda es invariante a la derecha porque nunca establece que $X_v(g) = Y_v(g)$ para $g$ no de la forma $\gamma(t_0)$ .