Principio de no arbitraje

Question

Espero que no le moleste que haga una pregunta financiera en esta sección.

Tengo problemas para entender el concepto del principio de no arbitraje para un ejemplo concreto de mis apuntes:

Supongamos que una acción tiene un precio de 100 en el momento $t=0$ . Supongamos además que en el momento $t=1$ su precio subirá a 150 o bajará a 50 con una probabilidad desconocida. Supongamos que el tipo de interés efectivo es $r$ p.a.

Supongamos que $C$ denota el precio en el momento $t=0$ de una opción de compra de 1 acción por el precio de ejercicio de 125 en el momento del ejercicio $t=1$ .

Determine C para que no haya arbitraje.

Solución:

Entiendo que si compramos 1 acción y -4 (es decir, vendemos 4) opciones de compra a $t=0$ entonces el valor de nuestra cartera en el momento $t=1$ es de 50 independientemente de si el valor de la acción sube o baja.

El ejemplo continúa diciendo, supón que un inversor tiene un capital $z > \text{max}\{100,4C\}$ considerar las 2 posibles decisiones:

Decisión de inversión A: Comprar una acción, invertir el resto

Decisión de inversión B: Comprar 4 opciones, invertir el resto.

En el momento $t=0$ el valor de su cartera es $z$ en ambos casos.

El ejemplo calcula entonces el valor de la cartera en el momento $t=1$ tanto para A como para B y afirma que estos deben ser iguales si queremos que no haya arbitraje.

Esta es la parte que no entiendo: ¿por qué estos valores deben ser los mismos para que no haya arbitraje? Parece que tiene algo que ver con la frase que he escrito debajo de "Solución:", pero no consigo entenderlo.

Gracias por su tiempo y ayuda.

Answer 1

Supongo que su pregunta se refiere más al concepto de no arbitraje que al ejemplo.

Ahora bien, esto significa que tenemos que formular la noción de libre de arbitraje de una manera más rigurosa. Esto está cubierto en la mayoría de los libros de finanzas matemáticas - hágamelo saber y puedo escribirlo aquí si es necesario.

Supongamos ahora que nuestro mercado está libre de arbitraje. A consecuencia de esto es que la ley del precio único se mantiene. La ley de un solo precio dice que, dos carteras cualesquiera que tengan el mismo pago en algún momento $t$ (aquí $t=1$ en el ejemplo) tienen el mismo valor en $t=0$ . Es decir

No hay arbitraje $\implies$ Ley del precio único (Thm1).

Esto responde a tu pregunta ya que si las dos carteras $A,B$ con el mismo pago no tienen el mismo valor inicial en $t=0$ entonces de ((Thm1) esto significa que el mercado es no libre de arbitraje. Hazme saber si necesitas una prueba, y la añadiré aquí.

Answer 2

Creo que hay una forma más intuitiva de abordar este problema.

Si compra la opción de compra, su valor en el período 1 será \$25 (if the share price goes up) or \$ 0 (si la comilla baja).

Por lo tanto --- aquí está el principio de no arbitraje --- el precio de la opción de compra tiene que ser igual al precio de CUALQUIER cartera que tenga los mismos beneficios en las mismas circunstancias.

En concreto: Supongamos que pido prestado $12.50/(1+r)$ dólares y compra $1/4$ compartir. El próximo período, mi cartera vale $-12.50+(1/4)S$ donde $S$ es el nuevo precio de la acción. (Por qué $12.50$ ? Porque eso es lo que cuesta devolver lo prestado). Observe que si el precio de la acción sube a $S=\$ 150 $, your portfolio is worth \$ 25, pero si baja a $S=\$ 50$, tu cartera vale cero --- al igual que la opción de compra.

Así que el precio de la opción de compra debe ser igual al precio de esta cartera. ¿Y cuál es ese precio? Bueno, 1/4 de acción cuesta \$25. Of this, you're paying $ 12.50/(1+r) $ with borrowed money. So the cost out of your pocket is $ 25-(12,50/(1+r)$ --- y ese es, por tanto, el precio de la opción de compra.

¿Cómo se me ocurrió pedir prestados exactamente 12,50 y comprar exactamente 1/4 de acción? Bueno, asumí que pediste prestado $x$ y compró $y$ acciones, luego calculó el valor futuro de su cartera en términos de $x$ y $y$ y establecer este valor en $25$ cuando el precio de las acciones sube y $0$ cuando se cae, para que el ejemplo funcione. Eso me dio dos ecuaciones en las dos incógnitas $x$ y $y$ que he resuelto.

Answer 3

La idea básica de lo que no hay arbitraje significa, es que no hay almuerzo gratis - no se puede obtener dinero de la nada :). Más concretamente, dos carteras que tienen el mismo coste en el momento 0 y los mismos resultados en todos los casos posibles, deben costar lo mismo.

Ahora tienes dos posibles carteras en tus decisiones A y B. Como su coste inicial es el mismo, y pagan exactamente la misma cantidad $z$ al mismo tiempo, deben tener el mismo valor.

Busca en Wikipedia ejemplos de condiciones libres de arbitraje para entenderlo mejor: http://en.wikipedia.org/wiki/Arbitrage#Arbitrage-free

Answer 4

Ignorando los intereses, si puedo conseguir la cartera de una acción menos cuatro opciones por menos de $50$ Puedo obtener un beneficio garantizado al comprarlo. En $t=1$ Tendré algo que valga la pena $50$ . Si puedo vender la cartera por más de $50$ Puedo obtener un beneficio garantizado si lo hago y lo vuelvo a comprar a $t=1$ Por lo tanto, el precio de una opción debe ser $C=12.50$ para evitar el arbitraje.

La cuestión entonces es que la diferencia de A y B es precisamente una acción menos cuatro opciones más la diferencia de posiciones en efectivo. Ya dijimos que la acción menos las opciones tiene un valor de exactamente $50$ en $t=1$ Por lo tanto, B debe tener 50 adicionales en efectivo para evitar el arbitraje.