¿Por qué no funciona? -- El problema de la escuela primaria V.I. Arnold (Dos mujeres empezaron al amanecer...)

Question

Tengo una pregunta, quizás tonta. Entiendo las diversas soluciones a este problema:

Dos mujeres comenzaron al amanecer y cada una caminó a una velocidad constante. Una fue de A a B y la otra de B a A. Se encontraron al mediodía y, continuando sin parar, llegaron respectivamente a B a las 16 horas y a A a las 21 horas.

No necesito una solución. Me gustaría saber por qué mi forma de pensar no lo hace pero no funciona. (Por alguna razón, a menudo en matemáticas lo que acaba confundiéndome no es cómo hacer el problema, sino cómo no para hacerlo).

Esta es mi idea:

Sabemos que si las mujeres iban ambas a la misma velocidad -el media velocidad entre ellas, a las 12:00, se encontrarían en el medio, justo entre A y B. Para hallar la velocidad media, consideramos la situación desde el punto en que se encontraron originalmente: La primera mujer tardó 9 horas en terminar su viaje y la segunda 4 horas. Incrementamos el tiempo que les lleva (sinónimo de incrementar sus velocidades) en intervalos de 30 minutos hasta que les lleve el mismo tiempo. Es decir:

• La primera mujer tarda 9 horas, mientras que la segunda tarda 4.
• La primera mujer tarda 8,5 horas, mientras que la segunda tarda 4,5. (Esto corresponde a acelerar un poco a la primera mujer y ralentizar a la segunda en la misma medida, de modo que su punto de encuentro a las 12:00 se desplaza un poco hacia el centro).
• La primera mujer tarda 8,0 horas, mientras que la segunda tarda 5.
• La primera mujer tarda 7,5 horas, mientras que la segunda tarda 5,5.
• La primera mujer tarda 7 horas, mientras que la segunda tarda 6.
• Las dos mujeres tardan 6,5 horas.

Por lo tanto, para llegar al centro del camino a las 12:00 yendo a la velocidad media entre ambos se necesitarían 6,5 horas. La puesta de sol habría comenzado, entonces, a las $12 - 6.5 = 5.5 = 5:30$ . La respuesta es obviamente no 5:30.

¿Dónde se equivoca este método de pensamiento?

Edición: Esta "solución" no supone que se encuentren en el medio. Sólo asume que se encuentran en el medio si ambos iban a la velocidad media entre ellos. Se supone que aumentar el tiempo por igual (y por tanto sus velocidades por igual) garantiza que su hora de encuentro siga siendo las 12:00.

Answer 1

No se reúnen en el medio pero más lejos del punto de partida del más rápido. Y una cosa que a menudo es la causa del error en tales problemas es tomar el tipo equivocado de media de las velocidades: A veces la media aritmética es correcta, a veces la media armónica, a veces es mejor hacer un croquis. De hecho, un croquis (diagrama de localización-tiempo) es el mejor punto de partida para estos problemas.

Por otra parte, la declaración del problema es problemática en sí misma: Dado que las mujeres comienzan en diferentes lugares, es muy probable que tengan diferentes horas de salida del sol (y podrían estar en diferentes zonas horarias, pero eso sería realmente ser puntilloso)

Answer 2

Su pretensión es que para cualquier diferencia (razonable) entre $t_1$ y $t_2$ tenemos que $\frac12(r_1+r_2)$ es una constante. Yo sostengo que la afirmación que haces es bastante fuerte. Incluso si fuera cierta [y resulta que no lo es], la mayor parte de la solución estaría probablemente envuelta en ella.

Por ejemplo, la afirmación no es cierta para una distancia fija: desde $d=rt$ tenemos que para cualquier $\alpha>0$ : $$\frac12(r_1+r_2)=\frac12\left(\frac{d}{t_1}+\frac{d}{t_2}\right) \neq \frac12\left(\frac{d}{(t_1+\alpha)}+\frac{d}{(t_2-\alpha)}\right).$$

Sin embargo, eso no resuelve el problema planteado, porque, como usted señala, no suponemos que para todos $\alpha$ Las dos mujeres se encuentran en el medio. Por lo tanto, para enchufar $t_1=t_2=6.5$ y $\alpha=2.5$ debemos suponer que $d$ se refiere a la distancia entre el lugar donde se encuentran y sus destinos finales, pero no es la misma para ambas mujeres.

Por lo tanto, dejemos que $d$ sea la distancia desde $A$ a $B$ y supongamos que se encuentran en una proporción $\beta$ del camino a lo largo del sendero. Entonces estamos tratando de comparar $$\frac12\left(\frac{d}{t}+\frac{d}{t}\right) \text{and} \frac12\left(\frac{\beta d}{(t+\alpha)}+\frac{(1-\beta)d}{(t-\alpha)}\right).$$

Ahora, no está claro que $\beta$ en función de $\alpha$ no funcionará mágicamente para anular las cosas, pero resulta que no es así. Probablemente hay alguna buena razón para esto, pero no puedo averiguarlo.