Dejemos que $f(x,y)=\dfrac {x^2}{y^4} e^{\frac{-x^2}{y^4}}.$ Si $y \neq 0$ y $f(x,0)=0$ es $f$ diferenciable en $(0,0)$ ?

Question

Dejemos que $f(x,y)=\dfrac {x^2}{y^4}e^{\frac{-x^2}{y^4}}.$

Necesito comprobar si esta ecuación es diferenciable en $(0,0),$ si $y$ diferente a $0$ y $f(x,0)=0$ .

Una pregunta muy parecida está en mis exámenes. ¿Puede ayudarme a resolverla?

Answer 1

Tenemos que para $x=t^2$ y $y=t \to 0$

$$\lim_{(x,y)\to (0,0)} \dfrac {x^2}{y^4}e^{-x^2/y^4}= \lim_{t \to 0} e^{-1}= \frac 1e$$

y para $x=2t^2$ y $y=t \to 0$

$$\lim_{(x,y)\to (0,0)} \dfrac {x^2}{y^4}e^{-x^2/y^4}= \lim_{t \to 0} 4e^{-4}= \frac 4{e^4}$$

por lo que la función no es continua en $(0,0)$ y por lo tanto no puede ser diferenciable en ese punto.

Answer 2

Una idea similar a la que el usuario utilizó en su respuesta, pero con un sabor un poco diferente. Definir $g(t) = f(t^2,t)$ . Si $f$ eran continuas en $(0,0)$ , $g$ sería continua en $0$ (la composición de funciones continuas es continua). Sin embargo,

$$ g(t) = \begin{cases} e^{-1},& t\neq 0,\\ 0,& t = 0, \end{cases}$$

que obviamente no es continua en $0$ Así que $f$ no es continua en $(0,0)$ .