¿Cuál es la diferencia entre un conjunto de vectores y un tramo

Question

Estaba tratando de entender los espacios y me confundió aún más.

Mis notas sobre la envergadura surgieron así:

Dejemos que $ S = \{ u_1, u_2... u_k \} $ sea un conjunto de vectores en $ \mathbb R^n$ .

El conjunto de todas las combinaciones lineales de $ u_1, u_2, .. u_k $

$$ \{ c_1u_1 + c_2u_2 + ... + c_ku_k | c_1, c_2, ... c_k \} $$

se llama tramo lineal de S (o el tramo lineal de $ u_1, u_2, ... u_k $ ) y se denota por $ span(S) $ (o $ span( u_1, u_2, ... , u_k) $

Entonces, ¿cuál es la diferencia cuando $ S = \{u_1, u_2... u_k\} $ vs $ span( u_1, u_2... u_k) $ o $span(S)$ en términos de combinaciones lineales - Isnt $S$ ¿también un conjunto de todas las combinaciones lineales?

Answer 1

No, la notación $\{u_1,\cdots,u_n\}$ significa sólo aquellos $n$ vectores que ves nombrados allí. Es un conjunto con $n$ elementos. Por otro lado, span $(u_1,\cdots,u_n)$ significa todas las combinaciones lineales posibles. Por lo tanto, el tramo $(u_1,\cdots,u_n)$ es un conjunto infinito.

Lo mejor es fijarse en ejemplos sencillos: en el espacio de tres $\Bbb R^3$ Considera que $u_1=(1,2,0)$ y $u_2=(3,2,0)$ . Entonces $\{u_1,u_2\}$ tiene dos vectores, mientras que el tramo correspondiente es, y espero que lo veas inmediatamente, todo el $xy$ -plano, dado por la ecuación $z=0$ .

Answer 2

El tramo es siempre sobre un conjunto de vectores y no sobre "un solo" vector. Al final de esta respuesta, quedará claro por qué el span se define sobre un conjunto de vectores y no sobre un único vector.

Permítanme que intente explicarlo con una analogía de las matemáticas sencillas. La adición de 2 números puede ser modelada con una ecuación 'A + B = C'. donde A,B,C puede ser cualquier número entre '-infinito a +infinito'(incluyendo el cero). Intentemos calcular la adición para varios valores de A y B y capturemos el resultado en una tabla como se muestra a continuación.

En la tabla anterior, todos los valores posibles de C (resaltados en color amarillo) es el tramo para todos los valores posibles de los números A, B. Podemos definir 'Span' para la suma de 2 números como todos los valores posibles de C que se puede obtener para todos los valores posibles de A + B donde A,B,C pueden ser cualquier valor entre -infinito y +infinito.

Extendamos la analogía anterior para los vectores.

Compras queso y mantequilla en tu supermercado local. El queso cuesta y pesa 5 dólares y 2 libras por caja. La mantequilla cuesta y pesa 8 dólares y 3 libras por caja. Puedes comprar cualquier número de cajas de queso y mantequilla. Si es un particular, puede comprar cantidades menores, mientras que si compra para un restaurante, puede comprar grandes cantidades.

Las ecuaciones del vector para el escenario anterior son las siguientes Vector Queso = ( 5 $ per box, 2 lbs per box) = C( 5, 2) Butter Vector = ( 8$ por caja, 3 libras por caja) = B(8, 3) Vector resultante( cuando se compran ambos) = Vector Queso + Vector Mantequilla = ( precio del Queso por caja + precio de la Mantequilla por caja , Peso del Queso = Peso de la Mantequilla) = R ( 5 $ + 8 $ , 2lbs + 3 lbs) = R(13, 5)

Así que las ecuaciones vectoriales son C(5,2) + B(8,3) = R(13,5). Donde C,B,R son los coeficientes o escalares del número de cajas compradas.

Dependiendo de tu día de suerte (Black Friday o una promoción especial, etc.), puedes conseguir uno gratis si compras el otro. Así que B o C pueden ser representados como negativos Intentemos calcular la suma para varios valores de C y B y capturemos el resultado en una tabla como la que se muestra a continuación.

En la tabla anterior, todos los valores posibles del Vector Resultante-R (resaltado en color amarillo) es el tramo de los vectores Queso y Mantequilla.

Dado que sólo nos interesan 2 dimensiones (precio y peso), el ámbito (posibles valores de R) es todo el plano 2D donde el precio y el peso forman cada una de las dimensiones o ejes, es decir, el vector R puede calcularse o sumarse o colocarse como puntos de coordenadas en el plano 2D.

Si estuviéramos interesados en 3 dimensiones (precio, peso, impuestos) entonces el span (valores posibles de R) es todo el plano tridimensional donde el precio, el peso y los impuestos forman cada una de las dimensiones o ejes.

Para B,C podemos muy bien tener valores decimales también si su super mercado local permite por ejemplo comprar una caja y media de queso, dos cajas y media de mantequilla etc. ¡¡¡Eso es todo!!!

Por lo tanto, el Span para la compra de queso y mantequilla (leído como espacio vectorial de vectores de queso y mantequilla) es todos los valores posibles de R que se puede obtener para todos los valores posibles de C, B donde B,C pueden ser cualquier valor entre -infinito y +infinito. Como es evidente, el span está en ambos vectores queso y mantequilla y no en uno solo. si es solo uno, la propia aritmética de la recta numérica habitual es suficiente. Espero que esto esté claro.