Teorema de uniformización de las superficies de Riemann

Question

¿Cómo se demuestra que toda superficie de Riemann simplemente conexa es conformemente equivalente al disco unitario abierto, al plano complejo o a la esfera de Riemann, y que éstos no son conformemente equivalentes entre sí?

Me gustaría conocer distintas formas de demostrarlo y referencias adecuadas. No se trata de saber cuál es la mejor manera, sino de conocer varios enfoques posibles. Por lo tanto, no estaría eligiendo la mejor respuesta.

Answer 1

Como se ha señalado, la falta de equivalencia de los tres es elemental.

Las pruebas originales de Koebe y Poincare fueron mediante funciones armónicas, es decir, la ecuación de Laplace ${\Delta}u = 0$ . Posteriormente, este enfoque se racionalizó considerablemente mediante el método de Perron para construir funciones armónicas. El método de Perron es muy bueno, ya que es elemental (en términos de análisis complejo) y no requiere casi ningún supuesto topológico. En el libro "Conformal Invariants" de Ahlfors se puede encontrar una demostración moderna del teorema de la uniformización completa siguiendo estas líneas.

La segunda demostración de Koebe utiliza funciones holomorfas, es decir, las ecuaciones de Cauchy-Riemann, y cierta topología.

Existe una prueba de Borel que utiliza la EDP no lineal que expresa que la curvatura gaussiana es constante. Esto enlaza con la versión diferencial-geométrica del Teorema de Uniformización: Cualquier superficie (suave, conectado 2-manifold sin límites) lleva una métrica de Riemann con curvatura constante de Gauss. (válido también para superficies no compactas).

Existe una prueba de Bers que utiliza la ecuación de Beltrami (otra EDP).

Para casos especiales, la prueba es más sencilla. El caso de una superficie de Riemann compacta simplemente conexa puede hacerse construyendo una función meromórfica no constante mediante funciones armónicas, y esto es menos complicado que el caso completo. Hay un breve artículo de Fisher, Hubbard y Wittner en el que se trata el caso de dominios en la esfera de Riemann mediante una idea de Koebe. (Punto sutil aquí: Fisher et al consideran dominios no simplemente conexos en la esfera de Riemann. El recubrimiento universal es una superficie de Riemann simplemente conexa, pero no es obvio que sea biholomorfa a un dominio en la esfera de Riemann, por lo que no se aplica el Teorema del Mapa de Riemann).

El Teorema de Uniformización es mucho más profundo que el Teorema del Mapa de Riemann. Este último es el caso especial del primero, en el que la superficie de Riemann es un dominio simplemente conexo en la esfera de Riemann.

He decidido añadir un comentario para aclarar un malentendido. El teorema de que una superficie simplemente conexa (digamos, un manifold liso, conexo, sin límites) es difeomórfica al plano (también conocido como el disco, difeomórficamente) o a la esfera, es un teorema de topología, y es no el Teorema de Uniformización. Este último dice que cualquier superficie de Riemann simplemente conexa es biholomorfo (o conformacionalmente equivalente; igual en dimensión compleja $1$ ) al disco, al plano complejo o a la esfera de Riemann.

Pero el teorema de topología es un corolario del Teorema de Uniformización. Para verlo, supongamos $X$ es una superficie simplemente conexa (lisa, etc.). Paso (1): Sumérjalo en $\mathbb{R}^3$ para no ver el origen. Paso (2): Ponga la esfera de Riemann (¡con su estructura compleja!) en $\mathbb{R}^3$ en forma de esfera unitaria. Paso (3): Para cada espacio tangente $T_pX$ en $X$ , llevan la estructura compleja $J$ del espacio tangente correspondiente en la esfera de Riemann por transporte paralelo (mapa de Gauss) a $T_pX$ . Esto está bien definido eligiendo un punto base y recordando que $X$ está simplemente conectada. Paso (4): ¡Listo! $X$ es ahora una superficie de Riemann (lleva una estructura compleja), por lo que es biholomorfa al disco o al plano o a la esfera de Riemann, por tanto difeomorfa a una de las tres.

Por supuesto, he pasado por alto la cuestión de la inmersión de la superficie en el espacio 3, porque esto es topología. En realidad, recuerdo vagamente que existe una clasificación de superficies topológicas no compactas de Johannsen (¿español?), y sin duda el teorema topológico se desprendería inmediatamente de ella.

Answer 2

Aprendí la prueba de este documento, Uniformización de superficies de Riemann . En realidad ofrecen tres métodos de prueba, y el primero de ellos me pareció el más fácil de seguir. No es demasiado difícil seguir la demostración en detalle si se sabe algo de topología y análisis complejo. La idea es construir una función analítica global minimizando una integral de Dirichlet. A continuación, resolviendo las propiedades de las "líneas de flujo", en las que la función tiene parte imaginaria constante, se puede tener una buena idea de cómo es el mapa, y luego demostrar que se trata de un mapa sobre la esfera de Riemann, la esfera de Riemann sin el origen (equivalente al plano complejo) o la esfera de Riemann sin un segmento de línea (equivalente al disco unitario abierto).

El segundo método que ofrecen se basa en la triangulación de la superficie. La prueba construye la cartografía inductivamente en conjuntos de triángulos cada vez mayores, utilizando el teorema de la cartografía de Riemann para construir mapas y el principio de reflexión de Schwarz para unirlos.

También proporcionan un tercer método, basado en la cohomología de gavillas, aunque no estoy muy familiarizado con este método. La idea es construir realizaciones geométricas de estructuras proyectivas en la superficie de Riemann. Sin embargo, no parece muy completo, y al final se plantean algunos problemas sin resolver.

Answer 3

Hay un buen libro sobre el teorema de uniformización de Henri Paul de Saint Gervais, Uniformidad de las superficies de Riemann . El autor es en realidad un colectivo de matemáticos franceses.

Answer 4

Desde mi punto de vista, la mejor referencia moderna es el libro de J. Hubbard, Teichmuller y sus aplicaciones.

Una prueba muy interesante (y poco conocida) se debe a Lavrentiev, y se puede encontrar en un apéndice del libro de Goluzin, Geometric theory of functions of a complex variable.

Answer 5

La esfera de Riemann no es conformemente equivalente a las demás porque no es homeomórfica a ellas. :)