¿Cuándo es un polinomio entero mónico el polinomio característico de una matriz entera no negativa?

Question

Supongamos que $P(x)$ es un polinomio entero mónico con raíces $r_1, ... r_n$ tal que $p_k = r_1^k + ... + r_n^k$ es un entero no negativo para todos los enteros positivos $k$ . Es $P(x)$ ¿es necesariamente el polinomio característico de una matriz entera no negativa?

(La motivación aquí es que quiero $r_1, ... r_n$ sean los valores propios de un multigrafo dirigido).

Edición: Si esa condición no es lo suficientemente fuerte, ¿qué tal la condición adicional de que $$\frac{1}{n} \sum_{d | n} \mu(d) p_{n/d}$$

es un número entero no negativo para todo d?

Answer 1

Posiblemente pueda ofrecer un contraejemplo, de la obra de James McKee y Chris Smyth Matrices enteras simétricas de radio espectral pequeño y medida de Mahler pequeña .

Si $P=x^7-8x^5+19x^3-12x+1$ fuera el polinomio característico de una matriz correspondiente a un grafo, entonces sería el char.poly de una matriz correspondiente a un grafo con signo cargado (simétrica, todas las entradas $0$ , $1$ o $-1$ ). Para tales matrices definimos el polinomio recíproco asociado como $(z^d)X(z+1/z)$ donde $X$ es el polinomio característico y d su grado. En este caso, el polinomio recíproco asociado sería $z^{14}-z^{12}+z^7-z^2+1$ . Para cualquier polinomio entero podemos encontrar una medida de Mahler, y la medida de Mahler de este polinomio es $1.20261\!\ldots$ Sin embargo, Smyth y McKee determinaron que el Mahler mide menos de $1.3$ que surgen de polinomios recíprocos asociados de grafos con signo cargados, y esta cantidad no se alcanza.

Así que $P$ no puede ser el polinomio característico de un grafo con signo cargado, del que los grafos son un caso especial. ¿Tiene $P$ satisfacen sus condiciones de no negatividad en las raíces? Las sumas de potencias Impares parecen ser cero.

Answer 2

EDITAR : Leí mal la pregunta y probé algo más fácil. Ah, bueno.

Cualquier polinomio mónico $p(x)=p_0+p_1x+p_2x^2+...+x^n$ con coeficientes en un anillo $R$ es el polinomio característico de una matriz con coeficientes en $R$ . Consideremos un espacio vectorial con base $e_0,\ldots,e_{n-1}$ y la transformación lineal que envía $e_i\mapsto e_{i+1}$ y $e_{n-1} \mapsto p_0e_0+p_1e_1+\cdots$

Esta transformación lineal tiene obviamente un polinomio mínimo $p(x)$ por lo que debe ser el polinomio característico.

Cualquiera de las bases habituales de las funciones simétricas es entera si y sólo si cualquier otra lo es, así que hemos terminado.