¿Cuándo es un polinomio entero mónico el polinomio característico de una matriz entera no negativa?

Question

Supongamos que $P(x)$ es un polinomio entero mónico con raíces $r_1, ... r_n$ tal que $p_k = r_1^k + ... + r_n^k$ es un entero no negativo para todos los enteros positivos $k$ . Es $P(x)$ ¿es necesariamente el polinomio característico de una matriz entera no negativa?

(La motivación aquí es que quiero $r_1, ... r_n$ sean los valores propios de un multigrafo dirigido).

Edición: Si esa condición no es lo suficientemente fuerte, ¿qué tal la condición adicional de que $$\frac{1}{n} \sum_{d | n} \mu(d) p_{n/d}$$

es un número entero no negativo para todo d?

Answer 1

Esta pregunta se responde completamente, y el resultado es que la condición que implica la inversión de Moebius que mencionas es necesaria y suficiente. Véase

• K. H. Kim, N. Ormes, F. Roush. Los espectros de matrices enteras no negativas mediante series de potencias formales J. Amer. Math. Soc. 13 (2000) 773-806. https://doi.org/10.1090/S0894-0347-00-00342-8

Esto es realmente un notable y hermoso teorema.

Answer 2

Es una pregunta interesante. Parece que el problema correspondiente, incluso sustituyendo "entero" por "real", es difícil (véase Thomas J. Laffey, Problemas inversos de valores propios de matrices , JSTOR ), es decir, hay desigualdades "adicionales" satisfechas por los valores propios de matrices reales no negativas. No sé qué complejidad adicional induce el paso a números enteros, pero sospecho que debe ser muy difícil dar condiciones exactas.

Answer 3

Segunda idea, que al menos da algunas condiciones necesarias...

En Teorema de Perron-Frobenius para matrices no negativas garantiza que siempre haya un valor propio real igual al radio espectral. Por tanto, un polinomio no puede ser el char.poly. de una matriz de este tipo si no tiene raíces reales, o si el mayor valor absoluto de cualquier raíz es mayor que la mayor raíz real. Esta condición necesaria generaliza así su observación en el caso cuadrático mónico.

Answer 4

Esto es cierto para polinomios cuadráticos con término constante $+1$ . Cualquier polinomio de este tipo es el determinante de una matriz en $SL_2(\mathbb{Z})$ (por ejemplo, utilizando la matriz de acompañamiento indicada por Ben Webster). Es bien sabido que cualquier matriz de este tipo es conjugada con un producto múltiple de $\left(\begin{matrix}1&1\\0&1\end{matrix}\right)$ y $\left(\begin{matrix}1&0\\1&1\end{matrix}\right)$ (matrices unipotentes triangulares superior e inferior). No estoy seguro de la referencia original de este hecho, pero una referencia es la Proposición 2.1 de Sobre triangulaciones canónicas de haces toroidales una vez perforados y complementos de enlace de dos puentes .

Creo que tu criterio implica que la raíz máxima del polinomio es un Número de Perron . Si es así, Lind ha demostrado que todo número de Perron se presenta como el radio espectral de una matriz integral no negativa de Perron-Frobenius (y, por tanto, el radio espectral de un dígrafo recurrente). Esto sólo implica que el polinomio divide al polinomio característico de la matriz; podría haber otros factores.

Comentario añadido: El caso cuadrático general podría resolverse utilizando particiones de Markov del mapa inducido de un toroide.

Olvidé el caso ciclotómico, que puede darse si la matriz no es Perron-Frobenius. Si el polinomio es irreducible, creo que la condición implica que las raíces de norma máxima son números de Perron complejos (o ciclotómicos). Estos aparecen en el trabajo de Kenyon sobre tilings autosimilares ( La construcción de tilings autosimilares , MR1392326 ).

Answer 5

Bueno, permítanme decir lo que sé hasta ahora.

Para polinomios cuadráticos mónicos es necesario y suficiente que ambas raíces sean reales y una sea positiva con valor absoluto al menos la otra. Esto no requiere ningún argumento complicado: el polinomio característico de $\begin{pmatrix}a&b\\c&d\end{pmatrix}$ es $x^2 - (a + d)x + (ad - bc)$ . Desde $a, d \geq 0$ es necesario que en una raíz tenga parte real positiva al menos tan grande como el valor absoluto de la parte real de la otra, y puesto que $b, c \geq 0$ es necesario que $(a + d)^2 \geq 4ad \geq 4(ad - bc)$ . Esto es suficiente porque podemos establecer $c = 1$ .

Para polinomios generales, creo que un teorema de Berstel implica que 1) el radio de convergencia de $1/x^n P(1/x)$ debe ocurrir como un polo real positivo $r$ y 2) cualquier otro polo $s$ avec $|s| = r$ tiene la propiedad de que $s/r$ es una raíz de la unidad. Por otro lado, polinomios como el polinomio con raíces $5, 5, 3 + 4i, 3 - 4i$ no tienen esta propiedad aunque satisfagan la condición de no negatividad.