¿Es correcto utilizar estos seis casos en lugar de cuatro como se especifica en el manual de soluciones para $|a+b|-|b|$

Question

En el Capítulo 1 de Spivak - Problema 10, hay una pregunta que plantea la eliminación de los signos de valor absoluto, tomando casos separados si es necesario.

En una de las preguntas, el problema es: $|a+b|-|b|$

En mi respuesta, acabé tomando cuatro casos de las cuatro combinaciones posibles de a y b que son mayores o menores que cero. En los casos $a > 0, b < 0$ y $a < 0, b > 0$ la respuesta necesitaba dos subcasos más, haciendo un total de seis casos.

Sin embargo, el autor sólo utiliza cuatro casos comparando únicamente las cuatro combinaciones posibles de $a \ge b$ o $a \lt b$ y $b > 0$ o $b < 0$ .

Entiendo que el planteamiento del autor es un enfoque mucho más limpio del problema, pero ¿es también aceptable el otro planteamiento?

Answer 1

Su enfoque no es erróneo desde el punto de vista matemático, pero tampoco es perfecto.

Veamos $|a + b|$ . ¿Por qué considera que los casos $a>0$ y $a<0$ ? Es irrelevante, si $a$ es mayor o menor que $0$ . Lo único que "ven" los valores absolutos es la suma de $a$ y $b$ . El resultado depende únicamente de si $a + b \geq 0$ (es decir $a\geq -b$ ) o $a + b < 0$ .

Echa un vistazo a tus casos $b > 0> a$ y $b > a >0$ . Si no has hecho nada mal, deberías obtener los mismos resultados allí.