Problemas con la trigonometría para obtener la potencia de esta expresión compleja

Question

Estoy aquí porque no puedo terminar este problema, que viene de un libro ruso:

Calcular $z^{40}$ donde $z = \dfrac{1+i\sqrt{3}}{1-i}$

Aquí $i=\sqrt{-1}$ . Todo lo que sé ahora es que necesito usar la fórmula de Moivre $$\rho^n \left( \cos \varphi + i \sin \varphi \right)^n = \rho^n \left[ \cos (n\varphi) + i \sin (n\varphi) \right]$$

para obtener la respuesta de esto.

En primer lugar, he simplificado $z$ usando Álgebra, y obtuve esto:

$$z = \dfrac{1-\sqrt{3}}{2} + i \left[ \dfrac{1+\sqrt{3}}{2} \right]$$

Entonces, con esa expresión obtuve el módulo $|z| = \sqrt{x^2 + y^2}$ y su principal argumento $\text{arg}(z) = \tan^{-1} \left( \dfrac{y}{x} \right)$ .

No tuve problemas con $|z| = \sqrt{2}$ pero el problema comienza cuando intento conseguir $\text{arg}(z)$ . Esto es lo que he hecho hasta ahora:

$$\alpha = \text{arg}(z) = \tan^{-1} \left[ \dfrac{1+\sqrt{3}}{1-\sqrt{3}} \right]$$

Pensé que había poco que hacer con esa tangente inversa. Así que intenté usarla tal cual, para obtener la potencia usando la fórmula de Moivre.

$$z^{40} = 2^{20} \left[ \cos{40 \alpha} + i \sin{40 \alpha} \right]$$

Como puedes ver, el problema es reducir una expresión como: $\cos{ \left[ 40 \tan^{-1} \left( \dfrac{1+\sqrt{3}}{1-\sqrt{3}} \right) \right] }$ .

Y el libro dice que la respuesta es simplemente $-2^{19} \left( 1+i\sqrt{3} \right)$ .

No sé si me equivoco con los pasos que he seguido, o si puedo reducir ese tipo de expresiones. Agradeceré cualquier ayuda de vosotros :)

Gracias de antemano.

Answer 1

Oh, Dios. Lo tenemos: $$1+i\sqrt{3} = 2\exp\left(i\arctan\sqrt{3}\right)=2\exp\frac{\pi i}{3}$$ $$\frac{1}{1-i} = \frac{1}{2}(1+i) = \frac{1}{\sqrt{2}}\exp\frac{\pi i}{4},$$ por lo tanto: $$z=\frac{1+i\sqrt 3}{1-i} = \sqrt{2}\exp\frac{7\pi i}{12},$$ Así que..: $$ z^{40} = 2^{20}\exp\frac{70\pi i}{3}=2^{20}\exp\frac{4\pi i}{3}=-2^{20}\exp\frac{\pi i}{3}=-2^{19}(1+i\sqrt{3}).$$ Como forma alternativa, si se establece $a=1+i\sqrt{3}$ y $b=\frac{1}{1-i}$ que tienes: $$ a^3 = -2^3,\qquad b^4 = -2^{-2}, $$ por lo tanto: $$ z^{40} = a^{40} b^{40} = a(a^3)^{13} (b^4)^{10} = a\cdot(-2^{39})\cdot(2^{-20}) = -2^{19}(1+i\sqrt{3}).$$

Answer 2

$$ z=\sqrt 2\frac{\frac{1+\sqrt 3i}{2}}{\frac{\sqrt 2-\sqrt 2i}{2}}=\sqrt 2 e^{i(\pi/3-(-\pi/4))} $$ y por lo tanto: $$ z^{40}=2^{20}e^{i2\pi/3}=-2^{19}(1+i\sqrt3) $$

Answer 3

Para abordar la arctangente de frente, hacemos uso de una identidad derivada de la fórmula de adición del ángulo tangente:

$$\tan\left(\frac\pi4+x\right)=\frac{\tan\frac\pi4+\tan x}{1-\tan\frac\pi4 \tan x}=\frac{1+\tan x}{1-\tan x}$$ desde $\tan \dfrac\pi4=1$ . Recordando que $\tan\dfrac\pi3=\sqrt{3}$ entonces tenemos inmediatamente $$\alpha=\tan^{-1}\left(\frac{1+\sqrt{3}}{1-\sqrt{3}}\right)=\tan^{-1}\left(\frac{1+\tan\frac\pi3}{1-\tan\frac\pi3}\right)=\tan^{-1}\left[\tan\left(\frac{\pi}{4}+\frac{\pi}{3}\right)\right]=-\frac{5\pi}{12}$$ desde $\tan^{-1}$ toma valores en $(-\pi/2,\pi/2]$ .

A partir de aquí, las cosas están claras: $$\cos(40\alpha)+i\sin(40\alpha) =\cos\left(-\frac{2\pi}{3}-16\pi \right)+i\sin\left(-\frac{2\pi}{3}-16\pi \right)=-\frac{1+i\sqrt{3}}{2}$$ Multiplicando por el módulo $2^20$ da el resultado deseado.