¿Por qué los números complejos y los vectores pueden escribirse en forma de $a+bi$ ?

Question

¿Por qué los números complejos y los vectores pueden escribirse en forma de $a+bi$ cuando no se puede hacer lo mismo con coordenadas y líneas? Las coordenadas deben escribirse en forma de ( $x,y$ ), y líneas como $y=mx+b$ .

¿Cómo se escriben los números complejos y los vectores en forma de $a+bi$ ¿es compatible con las otras reglas de las matemáticas? No se puede escribir una coordenada o una recta en un plano numérico como el anterior.

Por cierto, ¿podrían las personas que respondan a esta pregunta hacer lo posible por no utilizar símbolos y notación matemática complicados? Todavía soy un principiante y tengo problemas para entenderlos.

Answer 1

Esta no es la respuesta más rigurosa desde el punto de vista matemático, pero quizá ayude a comprenderla.

Los números complejos son un espacio vectorial real bidimensional. Tenemos el eje real, también conocido como el $x$ -y el eje imaginario, es decir, el $y$ -eje. La cuestión es que tenemos una forma de pensar en un número complejo $a+bi$ como un par de números reales $(a,b)$ y viceversa. Parte de tu confusión puede venir del hecho de que los números complejos son también un espacio vectorial complejo unidimensional.

En cuanto a la compatibilidad con las "reglas de las matemáticas", hay muchas reglas posibles. En general, la adición de vectores suele ser como $(a,b)+(c,d)=(a+c,b+d)$ . Esto se comporta bien con la forma de sumar números complejos. La multiplicación es el punto más sutil. Tenemos $$(a+bi)(c+di)=ac-bd+(ad+bc)i.$$ Asimismo, podríamos definir $$(a,b)(c,d)=(ac-bd,ad+bc).$$ Esto nos da una forma de multiplicar los pares ordenados. Si sustituimos $i$ con $\sqrt{-2}$ tendríamos $$(a,b)(c,d)=(ac-2bd,ad+bc).$$ En cierto modo, esta elección es tan buena como $i$ . Pero en otros aspectos no lo es.

Sería bueno buscar qué es una base para un espacio vectorial.

Una línea suele contener muchos pares ordenados. Por ejemplo, la línea $y=x$ tiene puntos $(1,1),(2,2),$ y así sucesivamente. Si considero esta línea sobre los números complejos, obtengo puntos como $(i,i), (1+i,1+i), (3,3)$ y así sucesivamente. Aunque $(1,1)$ y $(2,2)$ pueden ser considerados como números complejos $1+i$ y $2+2i$ es más fácil pensar en ellos como pares ordenados de números reales que satisfacen $y=x$ . El punto aquí es que si pido soluciones complejas para $y=x$ Necesito un par de números complejos.

Answer 2

Se pueden escribir las coordenadas como $x+yi$ o números complejos como $(a,b)$ Aunque se corre el riesgo de confundir a la gente. Esta correspondencia es la Diagrama de Argand en el plano complejo

Una de las propiedades que tienen los números complejos es que se pueden sumar y multiplicar, por lo que en forma de coordenadas tendríamos $(a,b)+ (c,d) = (a+c,b+d)$ y $(a,b)\times (c,d) = (ac-bd,ac+bd)$ .

Pero generalmente con las coordenadas no tienes ninguna de las dos propiedades, mientras que con los vectores sólo tienes la suma. Todo depende de la estructura algebraica con la que se trabaje

Answer 3

Un trozo de papel con dos ejes dibujados y las unidades elegidas es un recurso práctico para visualizar estructuras de datos de la forma $(a,b)$ o $a+bi$ , donde $a$ y $b$ son números reales. Nótese que "datawise" $(a,b)$ y $a+bi$ son la misma cosa, pero los presentamos tipográficamente de forma diferente, porque tenemos propósitos distintos. La imagen tipográfica $(a,b)$ se utiliza cuando $(a,b)$ es sólo un par de datos reales, y no se pretende calcular más. La misma notación se utiliza cuando planeamos dos sumar dichos pares o multiplicarlos con un factor determinado $\lambda$ "por componentes". Geométricamente, esto equivale a la adición de vectores ("paralelogramo de fuerzas") y al escalado de la imagen por el factor $\lambda$ . La imagen tipográfica $a+bi$ Sin embargo, indica al lector que estamos dispuestos a aplicar $+$ , $-$ , $\times$ y $:$ a dichos objetos, según las reglas de los números complejos.