Si $f_n(x) = \int_0^x f_{n-1}(t) dt, x \geq 0 $ entonces $f_n(x) = \frac {1}{(n-1)!} \int_0^x f_0(t) (x-t)^{n-1}dt$ .

Question

Si $f_0$ es continua en $[0, \infty)$ y para todos $n \in \mathbb N$ , $f_n(x) = \int_0^x f_{n-1}(t) dt, x \geq 0 $ entonces $f_n(x) = \frac {1}{(n-1)!} \int_0^x f_0(t) (x-t)^{n-1}dt$ .

Se puede ver fácilmente que $f_n$ es continua para todo $n$ . En la integración por partes tenemos $f_n(x) = \int_0^x f_{n-1}(t) dt = xf_{n-1}(x) - 0.f_{n-1}(0) - \int_0^x tf_{n-2}(t) dt = \int_0^x (x-t)f_{n-2}(t) dt$ . De nuevo, cuando aplicamos la integración por partes tenemos

$\int_0^x (x-t)f_{n-2}(t) dt = [f_{n-2}(t) \int (x-t)dt]_0^x + \int_0^x f_{n-3}(t) \frac{(x-t)^2}{2} dt = [f_{n-2}(t)\frac{(x-t)^2}{2}]_0^x + \int_0^x f_{n-3}(t) \frac{(x-t)^2}{2} dt = f_{n-2}(x)\frac{(x-x)^2}{2} - f_{n-2}(0)\frac{(x-0)^2}{2} + \int_0^x f_{n-3}(t) \frac{(x-t)^2}{2} dt = 0-0 + \int_0^x f_{n-3}(t) \frac{(x-t)^2}{2} dt = \int_0^x f_{n-3}(t) \frac{(x-t)^2}{2} dt$

Así, vemos que $f_n(x) = \int_0^x (x-t)f_{n-2}(t) dt = \int_0^x f_{n-3}(t) \frac{(x-t)^2}{2} dt$ .

¿Podemos concluir directamente de esto? que después de un número finito de integración por partes sucesivas tenemos

$f_n(x) = \frac {1}{(n-1)!} \int_0^x f_0(t) (x-t)^{n-1}dt$ .

Answer 1

Supongamos que $f_k(x) = \frac {1}{(k-1)!} \int_0^x f_0(t) (x-t)^{k-1}dt$ para $k=1,...,n$ .

Entonces $f_{n+1}(x) = \int_0^x f_n(t) dt = \int_0^x \frac {1}{(n-1)!} \int_0^t f_0(s) (t-s)^{n-1}ds dt $ y utilizando Fubini, obtenemos $f_{n+1}(x) = \int_0^s \int_s^x \frac {1}{(n-1)!} f_0(s) (t-s)^{n-1}dt ds = \int_0^s \frac {1}{(n-1)!} f_0(s) \int_s^x (t-s)^{n-1}dt ds $ .

Desde $\int_s^x (t-s)^{n-1}dt = {(x-s)^n \over n}$ tenemos $f_{n+1}(x) = {1 \over n!} \int_0^x f_0(t) (x-t)^n dt$ .