Estimación del límite de una integral

Question

Supongamos que el límite

$$L=\lim_{n\to\infty}\sqrt n\int_0^1\frac{\mathrm dx}{(1+x^2)^n}$$

existe y es mayor que $\frac12$ . Entonces

A. $\frac12<L<2$

B. $2<L<3$

C. $3<L<4$

D. $L\ge4$

El problema

Estaba intentando resolver este problema. Intenté expresar la integral como una suma, pero no pude hacer nada más.

Answer 1

Esta integral es en realidad igual a $$ \int_0^{\sqrt{n}} \frac{dx}{\left(1 + \frac{x^2}{n} \right)^n} $$ que tiende a $$ \int_{0}^\infty e^{-x^2} dx = \frac{\sqrt{\pi}}{2}. $$