Una partícula se mueve con velocidad constante $v$ a lo largo de una parábola cúbica de ecuación $y = \frac{x^3}{k}$ , donde $k$ es una constante. Me gustaría encontrar la posición de la partícula en un momento determinado. Pensé que la mejor manera sería derivar ecuaciones paramétricas $x(t)$ y $y(t)$ de la fórmula anterior. Por lo tanto, he elegido $x = ct$ y por lo tanto $y=\frac{c^3t^3}{k}$ . Los derivados son $\frac{dx}{dt} = c$ y $\frac{dy}{dt} = \frac{3c^3t^2}{k}$ . Entonces, a partir del vector velocidad $v^2 = c^2 + \bigl(\frac{3c^3t^2}{k}\bigr)^2$ El $c$ puede derivarse y sustituirse en el parámetro $x(t)$ y $y(t)$ expresiones. Sin embargo, parece que se trata de una ecuación polinómica de orden superior. ¿Se puede resolver analíticamente? ¿Quizás sería mejor otra sustitución paramétrica? Se agradece cualquier ayuda.
Respuesta
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No pude obtener una solución de forma cerrada, pero puedes utilizar el siguiente enfoque para obtener una solución:
En primer lugar, resuelve la longitud de arco en función de $x$ : $$ s(x) = \int_{x_0}^{x}\sqrt{1+\left(\frac{dy}{dx}\right)^2}dx$$
o en este caso:
$$ s(x) = \int_{x_0}^{x}\sqrt{1+\frac{9x^4}{k^2}}dx$$
Wolfram Alpha da la integral indefinida como:
$$ I(x) = \frac{1}{3}x\left(2\ {}_2{F}_1\left(\frac{1}{4},\frac{1}{2}; \frac{5}{4};-\frac{9x^4}{k^2}\right)+\sqrt{1+\frac{9x^4}{k^2}}\right)$$
Así que: $$s(x)=I(x)-I(x_0)$$
Tenga en cuenta que $2F_1$ es la función hipergeométrica.
Como la velocidad es constante $s(t)=vt$ . Para resolver la posición, tendrá que encontrar $x$ tal que $vt=s(x)$ . El método de Newton puede utilizarse para resolver $x$ dado un tiempo $t$ .
