Computación de las extensiones delgadas que representan a Ext

Question

Hola a todos

Dejemos que $A$ sea un álgebra sobre un campo (anillos de grupo $k[G]$ para la cohomología de grupos, el Álgebra de Steenrod). Queremos calcular, por ejemplo, $Ext_A(k,k)$ Así pues, dejemos que $F_*\to k$ ser un $A$ -resolución libre. Elementos de $Ext^j_A(k,k)$ pueden ser representados como extensiones de Yoneda, esencialmente la secuencia exacta $k\to M_1 \to ... \to M_{j} \to k$ que denotamos $\mathcal{X}$ y un mapa en cadena $F_*\to \mathcal{X}$ con el cociclo, $F_{j+1}\to k$ por un lado y el mapa de identidad $k\to k$ en el otro. Utilizando los pushouts se puede, dado un cociclo, generar $\mathcal{X}$ pero los módulos de $\mathcal{X}$ puede ser bastante grande.

Mi pregunta es entonces la siguiente. ¿Existe una manera de generar una extensión "pequeña" (medida como quiera, tal vez el tamaño de una extensión debería ser la dimensión más grande sobre $k$ en cualquier bi-árbol) que represente un cociclo, o dada la extensión de Yoneda, ¿hay alguna manera de hacer algún tipo de cambio local en ella que pueda hacerla "más pequeña" (en cuyo caso podemos buscar un "óptimo local").

Esta pregunta está motivada como una solución al problema presentado por Bob Bruner en http://www.math.wayne.edu/~rrb/papers/yoneda.pdf .

Gracias

Answer 1

Supongamos que una resolución proyectiva $P \to k$ en $A$ (según tengo entendido, Bruner es capaz de calcular tal $P$ en un tiempo razonable) y que $f: P_n \to k$ es un cociclo. Entonces hay una extensión $\mathcal{X}$ que representa la clase de $f$ que es tan pequeño como $P$ es.

Con más detalle: Dejemos que $L := d_n(\ker(f)) \le P_{n-1}$ donde $d_n: P_n \to P_{n-1}$ . Entonces la clase de $f$ está representado por la extensión $$\mathcal{X}:\qquad 0 \to k \to P_{n-1}/L \to P_{n-2} \to \cdots \to P_0 \to k \to 0$$ (véase la página 9 del documento Benson, Carlson: Resoluciones proyectivas y complejos de dualidad de Poincaré. Se puede encontrar en: http://homepages.abdn.ac.uk/mth192/pages/html/archive/benson-carlson.html y es válida para cada uno de los aumentos $k$ -Álgebra $A$ ).

Por lo general, se trata de elegir $P$ lo más pequeño posible. Si $A$ es artiniano (lo que se cumple, por ejemplo, si $A=kG$ con $G$ finito) entonces cada f.g. $A$ -tiene una cubierta proyectiva. Por lo tanto, $k$ tiene una resolución proyectiva mínima que es un candidato natural para $P$ .

Si $A$ sólo se sabe que es noetheriano, se puede construir una resolución "pequeña" calculando un conjunto generador mínimo para $\ker(d_n)$ como $A$ -módulo (que tenga $k_n$ elementos) y eligiendo $P_{n+1} := A^{k_n}$ con el mapa obvio $P_{n+1} \twoheadrightarrow \ker(d_n) \hookrightarrow P_n$ .

Answer 2

Pides una forma de hacer cambios locales para disminuir el tamaño de la extensión. Aquí hay algunas observaciones para la longitud dos:

Si $M \cap \operatorname{im} \iota = \{0\}$ entonces

$$ 0 \to k \stackrel \iota \to A \stackrel j \to B \stackrel \pi \to k \to 0$$ equivale a $$ 0 \to k \to A/M \to B/j(M) \to k \to 0$$ a través de los mapas obvios. Igualmente, si $N \leq B$ y $\pi|_N \neq 0$ entonces la secuencia es equivalente a $$0 \to k \to j^{-1}(N) \to N \to k \to 0$$

Me imagino que el uso de estos es suficiente para reducir el tamaño considerablemente en muchos casos.