Estadística: Encontrar la distribución posterior dada la distribución previa y la distribución R.Vs

Question

Ahora estoy aprendiendo inferencia bayesiana. Ésta es una de las cuestiones que estoy haciendo.

Supongamos que tenemos R.V.s $X_1,X_2,\ldots,X_n$ tienen cada uno una distribución exponencial con parámetro $\theta$ . y antes para $\theta$ es una distribución exponencial con parámetro $\lambda$ . Entonces, ¿qué harías para encontrar a los posteriores?

Intentos: La prioridad debe ser PDF de exponencial con parámetro $\lambda$ . La probabilidad debe ser el producto de la PDF de la exponencial de cada $X_i$ con el parámetro $\theta$ .

Entonces, ¿qué harías después?

Muchas gracias.

Answer 1

Por definición, para cada $x=(x_1,\ldots,x_n)$ , $$f(\theta\mid x)\propto f(x\mid\theta)f(\theta)=\theta^n\mathrm e^{-s\theta}\cdot\lambda\mathrm e^{-\lambda\theta}\propto\theta^n\mathrm e^{-(s+\lambda)\theta},$$ donde $s=x_1+\cdots+x_n$ . Para cada positivo $z$ , $$ \int_0^{+\infty}\theta^n\mathrm e^{-z\theta}\mathrm d\theta=\frac{n!}{z^{n+1}}, $$ por lo que $$ f(\theta\mid x)=\frac1{n!}(s+\lambda)^{n+1}\theta^n\mathrm e^{-(s+\lambda)\theta}, $$ es decir, $f(\ \mid x)$ es la Gamma $(n+1,s+\lambda)$ distribución.

Answer 2

Utiliza el hecho de que: $$ f(\theta|x_1,...,x_n)=\frac{L(\theta)*p(\theta)}{\int_{-\infty}^\infty L(\theta)*p(\theta)d\theta}$$ Dónde $L(\theta)$ es la función de probabilidad, $p(\theta)$ es la prioridad, y $f(\theta|x_1,...,x_n)$ es la distribución posterior.

En este caso, lo tienes: $$ f(\theta|x_1,...,x_n)=\frac{\theta^ne^{-\theta \sum_{i=1}^nX_i}*\lambda e^{-\lambda\theta}}{\int_0^\infty \theta^ne^{-\theta \sum_{i=1}^nX_i}*\lambda e^{-\lambda\theta} d\theta}$$