Método de fase estacionaria cuando el punto estacionario no es ni mínimo ni máximo.

Question

Estoy tratando de evaluar el comportamiento de orden principal de $$I(x) = \int_{0}^{1} e^{ix(t-\sin(t))} dt,$$ utilizando el método de la fase estacionaria. La forma en que nos han enseñado a resolver este tipo de integrales es encontrar todos los puntos estacionarios en el rango, Taylor expandir $t-\sin(t)$ sobre los máximos y mínimos, y evaluar la integral en pequeños intervalos alrededor de estos puntos.

Sin embargo, tengo problemas porque el único punto fijo de $$f(t) = t - \sin(t)$$ en el intervalo $[0,1]$ es $t=0$ que no es un mínimo ni un máximo, sino un punto de inflexión. Si alguien pudiera ayudarme a resolver esta integral le estaría muy agradecido.

Answer 1

Definir una función completa

$$f(z)~:=~z - \sin z , \qquad z~\in~\mathbb{C}.\tag{1}$$

El contorno de integración de la integral de OP $$I ~:=~ \int_0^1 \! \mathrm{d}z ~\exp\left(ix f(z)\right) ~=~J(1)-J(0) ,\tag{2}$$

se deforma a lo largo del eje imaginario negativo del complejo $z$ -plano, donde el integrando se vuelve exponencialmente pequeño. Aquí

$$J(a)~:=~\int_{-i\infty}^0 \mathrm{d}z ~\exp\left\{ix f(a\!+\!z)\right\}. \tag{3} $$

OP está interesado en la expansión asintótica para $x\to \infty$ . Se trata ahora de elegir un contorno de descenso más pronunciado para la integral (3) a partir del punto final $z\!=\!0$ . Si la función $$z\mapsto f(a\!+\!z)\tag{4}$$ tiene un cero de orden $n$ en $z\!=\!0$ la contribución principal será del orden de $x^{-\frac{1}{n}}$ .

Resulta que el término principal de $I$ en una expansión asintótica para $x\to \infty$ proviene de la integral (3) asociada al extremo inferior $a\!=\!0$ ya que la función (4) tiene un cero de orden $n=3$ en $z\!=\!0$ como ya ha señalado OP. Las tres direcciones angulares más inclinadas son $-\frac{\pi}{2}$ , $\frac{\pi}{6}$ y $\frac{5\pi}{6}$ . El primer ángulo es el relevante, ya que hemos deformado el contorno de integración a lo largo del eje imaginario negativo.

$$ J(0)~\stackrel{(3)}{=}~ \int_{-i\infty}^0 \mathrm{d}z ~\exp\left\{ix f(z)\right\}$$ $$~=~ i\int_{-\infty}^0 \mathrm{d}y ~\exp\left\{ -x\left(y-\sinh y\right) \right\} ~=~i\int_0^{\infty} \mathrm{d}y ~\exp\left\{ -x\left(\sinh y-y\right) \right\} $$ $$~\sim~i\int_0^{\infty} \mathrm{d}y ~\exp\left( -\frac{xy^3}{6} \right) ~\stackrel{u=\frac{xy^3}{6} }{=}~ \frac{i}{3}\sqrt[3]{\frac{6}{x}}\int_0^{\infty} \mathrm{d}u ~u^{-\frac{2}{3}}\exp\left( -u \right)~=~ i \sqrt[3]{\frac{2}{9x}}\Gamma\left(\frac{1}{3}\right)$$ $$ \qquad\text{for}\qquad x\to \infty. \tag{5}$$

Esto lleva a la expansión buscada por OP

$$ I~\sim~ -i \sqrt[3]{\frac{2}{9x}}\Gamma\left(\frac{1}{3}\right) +O(x^{-1}) \qquad\text{for}\qquad x\to \infty. \tag{6}$$