Resolviendo estas ecuaciones matriciales

Question

Dejemos que $A, B$ sean dos matrices invertibles de orden $r$ tal que

$$ABA=BA^2B, \qquad A^3=I, \qquad B^{2n-1}=I \text{ for some positive integer } n$$

Estoy interesado en comprobar si $A$ y $B$ son conmutativos. También si $B$ es idempotente ( $B^2=B$ ) o involuntario ( $B^2=I$ ).

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Mi enfoque

Como $$A^3=I, A^2=A^{-1}$$ $$ABA=BA^2B=BA^{-1}B$$ $$A^{-1}B^{-1}A^{-1}=B^{-1}AB^{-1}$$ Ahora no puedo proceder desde aquí. Pensé que $$B^{-1}A^{-1}=AB^{-1}AB^{-1}$$ Pero esto tampoco da ningún resultado fructífero. Si alguien puede compartir algunos caminos alternativos a este tipo de problemas para una solución más rápida o si alguien puede detectar cómo proceder con esto, sería una gran ayuda. Gracias.

Answer 1

Esto es esencialmente un problema de palabras: $\left \langle A, B \mid ABA = BA^2B, A^3 = I, B^{2n-1} = I \right \rangle$ . Un método que suelo utilizar es utilizar las propiedades de las matrices similares. Tenemos \begin{align*} ABA &= BA^2B\\ B^{-1}AB &= A^2BA^{-1}\\ (B^{-1}AB)^3 &= (A^2BA^{-1})^3\\ (B^{-1}AB)(B^{-1}AB)(B^{-1}AB) &= (A^2BA^{-1})(A^2BA^{-1})(A^2BA^{-1})\\ B^{-1}A^3B &= A^2BABABA^{-1}\\ I &= A^2BABABA^{-1}\\ I &= ABABAB\\ &= (ABA)(BAB)\\ &= BA^2B^2AB\\ B^{-2} &= A^{-1}B^2A\\ B^{-2n} &= (A^{-1}B^2A)^n\\ B^{-1} &= A^{-1}B^{2n}A\\ &= A^{-1}BA\\ A^2 &= BA^2B\\ &= ABA\\ I &= B \end{align*} Por lo tanto, debemos tener $B = I$ y $A$ es cualquier matriz de orden $3$ . Esto hace que $A$ y $B$ viaje de ida y vuelta, con $B$ tanto idempotente como involuntaria.

Answer 2

Yo habría empezado por ver qué pasa si asume una de las propiedades que desea mostrar. Por ejemplo $AB = BA$ junto con $ABA = B A^2 B$ implica claramente $A^2 B = A^2 B^2$ y por lo tanto $B = I$ . Del mismo modo, si se asume $B^2 = I$ entonces $B^{2n - 1} = I$ implica $B = B^{2n} = (B^2)^n = I$ . Por último, hay que tener en cuenta que $B^2 = B$ implica $B = I$ sin ningún tipo de suposición adicional, ya que $B$ se supone que es invertible.

Así que ahora sabemos que $A$ y $B$ sólo conmutan si las relaciones dadas ya implican que $B = I$ y por supuesto si tenemos $B = I$ entonces todas las relaciones deseadas ( $AB = BA$ , $B^2 = B$ y $B^2 = I$ ) también se satisfacen.

Ahora, podemos buscar un ejemplo de matrices $A$ y $B$ que satisfacen las relaciones anteriores, así como $B \neq I$ y entonces sabríamos que las relaciones no implican ninguna de las relaciones mencionadas.

Al mismo tiempo, podemos intentar hacer lo que ya has empezado y buscar nuevas relaciones que nos ayuden quizás a deducir $B = I$ a partir de las relaciones dadas. De hecho, tenemos $$A B A^{-1} = A B A^2 = B A^2 B A = BA (ABA) = B A B A^2 B = B (ABA^{-1}) B$$ Y así tenemos $(ABA^{-1}) B (ABA^{-1})^{-1} = B^{-1}$ y esto se generaliza a $$(ABA^{-1})^k B (ABA^{-1})^{-k} = B^{(-1)^{k}}$$ para todos $k$ . Sin embargo, para $k = 2n-1$ tenemos $(ABA^{-1})^k = A B^{k} A^{-1} = I$ y así $B = B^{(-1)^{2n-1}} = B^{-1}$ que da $B^2 = I$ y como vimos anteriormente, utilizando $B^{2n-1} = I$ esto implica $B = I$ .