¿Esta prueba es correcta?

Question

El problema es "¿Puedes encontrar un valor $n$ tal que $n^2+1$ es divisible por $3$ ?"

Mi análisis: Para la divisibilidad de $n^2+1$ por $3$ necesitamos $n^2 \equiv 2 \pmod{3}$ En otras palabras, tenemos que demostrar que $2$ es el residuo cuadrático de $3$ pero $2 \equiv -1 \pmod 3$ lo que implica que $2$ es el no residuo cuadrático de $3$ Por lo tanto, no tal $n$ es posible.

Recientemente he aprendido sobre el residuo cuadrático y esta es probablemente mi primera aplicación, así que por favor, comprueba si he cometido un error

Gracias,

Answer 1

¿Por qué señalar que $2\equiv -1\bmod 3$ demostrar que $2$ es un no-residuo cuadrático? Tienes que completar tu argumento. Aquí hay una prueba sencilla de que $2$ es un residuo no cuadrático mod $3$ : $$0^2\equiv 0\bmod 3$$ $$1^2\equiv 1\bmod 3$$ $$2^2\equiv 1\bmod 3$$ El resto de tu prueba está bien.

Answer 2

HINT $\rm\quad\ \ mod\ 3\!\!:\ n\not\equiv 0\ \Rightarrow\ n \equiv \pm1 \ \Rightarrow\ n^2 \equiv 1 \not\equiv -1$

Asimismo, $\rm\ mod\ 8\!\!:\ odd\ n\: \Rightarrow\ n \equiv\pm1,\pm3\ \Rightarrow\ n^2 \equiv 1,\:$ un resultado que se utiliza a menudo en la teoría de los números.

Combinando ambos deducimos $\rm\: n^2 \equiv 1\pmod{24}$ para impar $\rm\:n\:$ coprima a $3\:.\:$ De forma más general ver aquí.

Obsérvese cómo el trabajo se reduce a la mitad utilizando el sistema de residuo equilibrado $\rm\: 0,\pm1,\pm2,...,\pm\lfloor m/2\rfloor\pmod m$