$\underset{x \to 0}{\lim}(1 + g(x))^\frac{1}{f(x)} = e^{\underset{x \to 0}{\lim}\frac {g(x)}{f(x)}}$ .

Question

Si $\underset{x \to 0}{\lim} f(x)=0$ y $\underset{x \to 0}{\lim} g(x)=0$

entonces, ¿cómo se produce la siguiente igualdad?

$\underset{x \to 0}{\lim}(1 + g(x))^\frac{1}{f(x)} = e^{\underset{x \to 0}{\lim}\frac {g(x)}{f(x)}}$ .

Mi intento : Esto sucederá cuando ${\underset{x \to 0}{\lim}\frac {g(x)}{f(x)}}$ es finito.

¿Puede alguien corregirme si me he equivocado en algo?

Gracias por adelantado.

Answer 1

Una pista: $\log(1+g(x))\sim g(x)$ como $x\rightarrow 0$ porque $g(x)\rightarrow 0$ .

Answer 2

Dejemos que $\lim_{x \to a}p(x) = 1$ y $\lim_{x \to a} h(x) = \infty$

$\lim_{x \to a}p(x)^{h(x)} = \lim_{x \to a}(1+p(x) - 1)^{h(x)} = \lim_{x \to a}(1+\frac{1}{\frac{1}{p(x) - 1}})^{h(x)} = \lim_{x \to a}(1+\frac{1}{\frac{1}{p(x) - 1}})^{\frac{h(x)(p(x) -1)}{p(x) - 1}} = \lim_{x \to a}e^{h(x)(p(x) - 1)}$

En nuestro caso: $p(x) = g(x) + 1$ y $h(x) = \frac{1}{f(x)}$