$1,(x-5),(x-5)^2,...,(x-5)^m$ como base para $\mathcal{P}_m(\mathbf{R})$

Question

¿Es correcta la siguiente prueba?

Teorema. Dado que $m$ es un número entero positivo. la siguiente lista de vectores es una base para $\mathcal{P}_m(\mathbf{R})$ . $$1,(x-5),(x-5)^2,\dots ,(x-5)^m$$

Prueba. La lista presentada anteriormente tiene una longitud de $m+1 = \dim\mathcal{P}_m(\mathbf{R})$ En consecuencia, nos basta con demostrar que la lista anterior es linealmente independiente.

Supongamos que $c_0+c_1(x-5)+c_2(x-5)^2+\cdots+c_m(x-5)^m = 0$ , donde $c_1,c_2,\dots,c_m\in\mathbf{R}$ y por conveniencia dejemos $p\in\mathcal{P}_m(\mathbf{R})$ representan el L.H.S de la ecuación anterior entonces $p^{(m)}(x) = c_m\cdot m! = 0$ lo que implica que $c_m = 0$ en consecuencia $p(x) = c_0+c_1(x-5)+c_2(x-5)^2+\cdots+c_{m-1}(x-5)^{m-1}$ repitiendo el mismo proceso vemos que $p^{m-1}(x) = c_{m-1}(m-1)! = 0$ lo que implica que $c_{m-1} = 0$ continuando de esta manera podemos demostrar que $c_{m} = c_{m-1} = \cdots = c_1 = 0$ y evaluar $p$ en $x=5$ implica que $c_0=0$ .

$\blacksquare$

Answer 1

Su prueba es correcta.

Yo enfocaría la cuestión de otra manera.

Basta con demostrar que este conjunto de
$$1,(x-5),(x-5)^2,\dots ,(x-5)^m$$ span $$ 1, x, x^2,..., x^m$$

Tenga en cuenta que $$ 1=1$$ , $$x=5(1)+ (x-5) $$ ,

$$ x^2 = 25(1)+10(x-5)+ (x-5)^2 $$

Lo que podría lograrse mediante el polinomio de Taylor de $x^k$ alrededor de $a=5.$

Answer 2

Sí es correcto y se puede concluir directamente desde aquí ya que

$$p=c_0+c_1(x-5)+c_2(x-5)^2+\cdots+c_m(x-5)^m = 0$$

es verdadera si y sólo si $p$ es el polinomio cero con $c_i=0$ $\forall i$ .

Como alternativa podríamos pasar de $x-5$ a y y observamos que obtenemos la base estándar $1,y,..,y^m$ .

Answer 3

Si sabes que $\{\color{blue}{1,x,x^2,\ldots,x^m}\}$ forma una base para para $\mathcal{P}_m(\mathbf{R})$ entonces es suficiente observar que lo siguiente da el cambio explícito de base a $\{\color{red}{1,(x-5),(x-5)^2,\ldots,(x-5)^m}\}\,$ :

$$ \color{blue}{x^k} = \big((x-5)+5\big)^k = \sum_{j=0}^k 5^{k-j}\binom{k}{j} \cdot \color{red}{(x-5)^j} \quad\quad\quad k = 0,1,2,\ldots,m $$