Encontrar la parametrización del tiempo dada la trayectoria y la velocidad de una partícula

Question

Consideremos una partícula en dos dimensiones con un vector de posición $r(t)=<x(t),y(t)>$ y la forma de la trayectoria se describe mediante una función $y(t)=f(x(t))$ (Así $r(t)$ es una parametrización de $f$ con respecto al tiempo). Dada una función $f$ y una velocidad $s$ ¿cómo encontramos el vector de posición $r(t)$ tal que la partícula se mueve siempre con velocidad constante $s$ ¿también algún punto de partida?

Por ejemplo, consideremos la forma de la trayectoria descrita por $y=x^2$ . Y supongamos que tenemos una partícula que sigue esta trayectoria comenzando en el origen en $t=0$ , moviéndose siempre con velocidad constante $s=1$ . ¿Cómo encontramos la parametrización $<r(t)>$ ?

Answer 1

Puede derivar cada componente por separado:

$r'(t)=<x'(t),y'(t)>$

Sin embargo tu ejemplo es diferente, no das x(t) e y(t), sino sólo la forma de la curva y la restricción de velocidad constante. Esta restricción es $r(t)^2=x(t)^2+y(t)^2=s^2$ usando eso deberías ser capaz de obtener la solución después de un poco de trabajo algebraico

Answer 2

Según su ejemplo

$s = d|r|/dt = 1$ y $r(t = 0) = 0$ , s.t.

(1) $|r| = t$

Ahora bien, como $x^2 = y$ ,

$r^2 = y + y^2 $ ,

s.t. se obtiene una ecuación simple de 2º grado en y,

$y^2 + y - r^2 = 0$ .

Resuelve esta ecuación,

(2) $y = \frac {-1 \pm \sqrt{1 + 4r^2}}{2}.$

Sustituyendo aquí (1),

(3) $y = \frac {-1 \pm \sqrt{1 + 4t^2}}{2},$

y por lo tanto,

(4) $x = \sqrt{y} = \sqrt{\frac {-1 \pm \sqrt{1 + 4t^2}}{2}} $ .

¿Hacemos una prueba si todo es correcto? Hagámoslo. Para las fórmulas de acortamiento, vamos a denotar la raíz cuadrada por S,

(5) $S = \sqrt {1 + 4t^2} $ .

$r^2 = x^2 + y^2 = (-1 \pm S)/2 + (-1 \pm S)^2/4$

$ = (1/4) (-2 \pm 2S + 1 + S^2 \mp 2S)$

$ = (1/4) (-1 + S^2).$

Bien, introduzca aquí la expresión de S, y compare con (1) . Parece que todo está bien, ¿no?

Buena suerte.

Answer 3

La velocidad es tangencial a la curva y viene dada por

$$\vec{v} =\frac{d\vec{r}}{dt}$$

y el vector de posición $\vec{r}$ se da como $$\vec{r}=x~\hat{i}+y~\hat{j}$$

Dado $y=f(x)$ , $$\vec{r}=x~\hat{i}+f(x)~\hat{j}$$

Así que, $$\frac{d\vec{r}}{dt}=\frac{dx}{dt}~\hat{i}+\frac{d}{dt}f(x)~\hat{j}$$

Simplificando, $$\vec{v}=\frac{dx}{dt}\left(~\hat{i}+\frac{d}{dx}f(x)~\hat{j}\right)$$

A partir de aquí, obtenga los componentes, utilice la restricción $|\vec{v}|=s$ y resolver la EDO en $\dot{r}$ para obtener el $r(t)$