Series geométricas infinitas y su valor

Question

Calcule el valor de $\sum_1^\infty (\frac{1}{3})^{2n}$ .

Puedo ver claramente que después de enumerar algunas sumas parciales esto parece tender hacia $\frac{1}{8}$ y cada suma parcial es mayor que la anterior.

$\sum_1^2 (\frac{1}{3})^{2n} = \frac{10}{81}$

$\sum_1^3 (\frac{1}{3})^{2n} = \frac{91}{729}$

$\sum_1^4 (\frac{1}{3})^{2n} = \frac{820}{6561}$

$\frac{10}{81} \lt \frac{91}{729} \lt \frac{820}{6561} \lt {...}\lt \frac{1}{8}$

Mi pregunta es cómo puedo demostrar que la respuesta es efectivamente $\frac{1}{8}$ ? Consideré usar un teorema en mi libro que dice que $\sum_1^\infty x_n=\lim(s_k) = sup\{s_k :k \in N\}$ donde $s_k$ son sumas parciales. La cuestión que se me plantea es mostrar que $\frac{1}{8}$ es efectivamente el supremum. Cualquier idea sería apreciada. Tampoco tengo que usar este teorema, era sólo una idea.

Answer 1

La fórmula de la suma de una serie geométrica es $\dfrac{a}{1-r}$ donde $a$ es el primer término de la serie y $r$ es la proporción por la que se multiplica.

Aquí, $a = (\dfrac{1}{3})^{2\times1} = \dfrac{1}{9}$ y $r = \dfrac{1}{9}$ .

Por lo tanto, tenemos $\dfrac{\dfrac{1}{9}}{1-\frac{1}{9}} = \dfrac{1}{9-1} = \dfrac{1}{8}$ .