Calcule el valor de $\sum_1^\infty (\frac{1}{3})^{2n}$ .
Puedo ver claramente que después de enumerar algunas sumas parciales esto parece tender hacia $\frac{1}{8}$ y cada suma parcial es mayor que la anterior.
$\sum_1^2 (\frac{1}{3})^{2n} = \frac{10}{81}$
$\sum_1^3 (\frac{1}{3})^{2n} = \frac{91}{729}$
$\sum_1^4 (\frac{1}{3})^{2n} = \frac{820}{6561}$
$ \frac{10}{81} \lt \frac{91}{729} \lt \frac{820}{6561} \lt {...}\lt \frac{1}{8} $
Mi pregunta es cómo puedo demostrar que la respuesta es efectivamente $\frac{1}{8}$ ? Consideré usar un teorema en mi libro que dice que $\sum_1^\infty x_n=\lim(s_k) = sup\{s_k :k \in N\}$ donde $s_k$ son sumas parciales. La cuestión que se me plantea es mostrar que $\frac{1}{8}$ es efectivamente el supremum. Cualquier idea sería apreciada. Tampoco tengo que usar este teorema, era sólo una idea.
