¿Cómo es esto una prueba de la irracionalidad de $\sqrt2$

Question

Prueba. Supongamos, en aras de la contradicción, que $\sqrt2$ es racional, y elige el menor número entero, $q \gt 0$ , de tal manera que $(\sqrt2 1)q$ es un número entero no negativo. Sea $q':=(\sqrt2 1)q$ . Claramente $0 \lt q' \lt q$ . Pero un cálculo fácil muestra que $(\sqrt2 1)q'$ es un número entero no negativo, lo que contradice la minimidad de $q$ .

Esta es mi pregunta. Si $(\sqrt2-1)q$ es un número entero no negativo, y $q$ es un número entero, entonces $(\sqrt2-1)$ debe ser un número entero. Así que la contradicción sobre la minimidad de $q$ sólo demuestra que $(\sqrt2-1)$ no puede ser un número entero. ¿Cómo demuestra la irracionalidad de $\sqrt2$ ?

Answer 1

Por la vía de la contradicción, supongamos que $\sqrt{2}$ = $\frac{p}{q}$ donde p y q son números enteros sin factor común ( fracción reducida a términos mínimos).

Entonces $\frac{p^2}{q^2}$ = 2

Desde $p$ y $q$ son números enteros por lo que $p$$ ^2 $ = 2 $ q $$^2$ $\implies$ $p$$ ^2 $ is even $ | de la que se trata. $ $ p$ es par.

Así que $p$ puede expresarse como; $p$ = $2$$ k $ for some integer $ k$.

Entonces, desde $\frac{p^2}{q^2}$ = 2 $\implies$ $\frac{(2k)^2}{q^2}$ = 2 $\implies$ $4k^2$ = 2 $q$$ ^2 $ $ | de la que se trata. $ $ q $$^2$ = 2 $k$$ ^2 $ $ | de la que se trata. $ $ q^2 $ is even $ | de la que se trata. $ $ q$ es par.

Lo que contradice el hecho de que $p$ y $q$ no tienen un factor común (contradice que la fracción $\frac{p}{q}$ es en términos más bajos).

Así que no podemos expresar $\sqrt{2}$ en forma de fracción, $i.$$ e. $ $ \sqrt{2}$ es un número irracional.

Answer 2

La prueba tiene la siguiente forma: $\,\sqrt{2}\in\Bbb Q\,\Rightarrow\,\sqrt{2}-1\in \Bbb Q\,\Rightarrow\,\sqrt{2}-1 = q'/q\, \ldots = n/q',$ que, desde $\,q'< q,\,$ contradice la elección de $q$ como el menor denominador de $\,\sqrt{2}-1.$

Esa contradicción implica que la hipótesis inicial $\,\sqrt{2}\in\Bbb Q$ es falso, lo que completa la prueba.

Una forma de ver la prueba es la siguiente: $\sqrt{2}\in\Bbb Q\iff\sqrt{2}-1\in \Bbb Q\,$ por lo que basta con mostrar $\,\sqrt{2}-1\not \in \Bbb Q$

Nota $\ \ \overbrace{\sqrt{2}\!-\!1}^{\large q'/q}\, =\, \color{#0a0}{\sqrt{2}\!+\!1} - 2\, =\,\color{#c00}{\underbrace{\smash[t]{\color{black}{\overbrace{\color{#0a0}{\dfrac{1}{\sqrt{2}\!-\!1}}}^{\large \color{#c00}{q/q'}}}}\color{#c00}{ -2}}}\ \ $ por $\,\ \color{#0a0}{(\sqrt{2}-1)(\sqrt{2}+1)} = 2-1 =\color{#0a0} 1.$

Así obtenemos $\smash{\ \sqrt{2}-1 \, =\, \dfrac{q'}{q} \ =\ \color{#c00}{\dfrac{q-2q'}{q'}}}\ $ con menor denominador $\ q' < q,\ $ contradicción.