Pregunta sobre la intersección de conjuntos infinitos

Question

Dejemos que $A_1,A_2,\ldots$ sean conjuntos tales que para cada $n$ tenemos $A_1\cap\ldots\cap A_n \ne\varnothing$ . ¿Podemos tener

$$A_1\cap A_2 \cap\ldots = \varnothing\;?$$

Esta pregunta debería ser fácil ya que es una pregunta anterior pero siento que me falta algo.Me parece que en ambos casos si se mantiene para todos $n$ entonces no hay razón para que no se mantenga como $n$ se va al infinito Mi pregunta es, ¿por qué no van a ser no vacíos?

Gracias :)

Answer 1

Sí, puede: tomar $A_n=\left(0,\frac1n\right)$ por ejemplo. Otro ejemplo es $A_n=\{k\in\Bbb Z^+:k\ge n\}$ . En cada caso $\bigcap_{k=1}^nA_k=A_n\ne\varnothing$ pero $\bigcap_{n\ge 1}A_n=\varnothing$ .

Por supuesto, también hay ejemplos en los que la intersección de toda la colección no es vacía. Por ejemplo, se podría tener $A_n=\left[0,\frac1n\right)$ , en cuyo caso $\bigcap_{n\ge 1}A_n=\{0\}$ .

Answer 2

Sí: Elija $$A_n = \left(0, \frac 1 n\right) \subseteq \mathbb{R}$$

Entonces la intersección es no vacía, mientras que cada intersección finita es un intervalo abierto.

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Para un ejemplo más directo, elija

$$A_n = \{n, n + 1, n + 2, ...\} \subseteq\mathbb{N}$$