Cómo visualizar un rango-2 tensor?

Question

La noción de (rango 2) "tensor" aparece en diferentes partes de la física, por ejemplo, tensor de tensiones, el momento de inercia del tensor, etc.

Sé que, matemáticamente, un tensor puede ser representado por una matriz de 3x3. Pero no puedo captar su geométricas de la imagen - a diferencia de escalar (un número) y el vector (una flecha con dirección y magnitud), que puedo ver fácilmente lo que está pasando.

Cómo visualizar un tensor?

Answer 1

Mientras que los tensores son generalizaciones de los vectores, no creo que realmente se puede generalizar la forma de visualizarlos. Esto es porque realmente quieres pensar de los tensores como multi-funciones lineales y por lo general no creo que de un vector como una función lineal de la doble espacio para los números reales.

Así que incluso si usted no puede conseguir buena imagen geométrica de un tensor, usted consigue una buena comprensión de lo que son si quieres verlas como multi-funciones lineales (en lugar de sólo una colección de números) de algunas copias de su espacio vectorial V (y/o su doble V*) en R. Por ejemplo, una métrica es un tipo de tensor de rango 2 y tiene un buen sentido geométrico-- aplicarlo a las dos copias de un vector da el cuadrado de la longitud de los vectores, se puede aplicar a dos vectores para obtener el ángulo entre ellos, etc. El momento de tensor de inercia es un 2-tensor de I tal que I(u,u) es el momento de inercia alrededor de los u-eje.

Por lo general también hay diferentes maneras de ver el mismo tensor, que puede hacer que sea más fácil conseguir un asimiento en ti. Por ejemplo, un tensor (1,1) es un multilineal mapa de V x V* en R. sin Embargo, esto, naturalmente, puede (es decir, la base de forma independiente) ser identificado con un lineal mapa de V a sí mismo: si T es un tensor (1,1) luego de contratación con un vector da un lineal mapa V* R, que es sólo otro vector.

Answer 2

Las otras soluciones publicado ya hace un buen trabajo explicando los tensores como díadas, transformaciones lineales, o utilizar el elipsoide de interpretación. Pensé en darle una perspectiva de la ingeniería.

En aplicaciones de ingeniería, cantidades físicas (masa, velocidad, fuerza, etc.) "escalares", "vectores", o "tensores". Lo que determina que, es cómo la cantidad de cambios en virtud de una transformación de coordenadas. En otras palabras: Si usted gire su visión del mundo, ¿qué sucede con la cantidad en cuestión? Supongamos $U$ es una rotación (lea: ortogonal) de la matriz que gira vectores desde el marco inicial $F_1$ a otro fotograma $F_2$.

Escalares, tales como la masa, no cambia en absoluto. Un objeto de masa no depende de la orientación de su estructura, por lo que $m_1$ = $m_2$.

Vectores, tales como la fuerza o la velocidad, hacer el cambio. Si $v_1$ que se expresa en su fotograma de inicio, a continuación,$v_2 = U^Tv_1$. Gira el marco de los montos a girar el vector. Todos los vectores de cantidades de transformar exactamente de esta forma.

Los tensores, tales como el estrés o la inercia, así como cambian. Si $J_1$ que se expresa en su fotograma de inicio, a continuación,$J_2 = U^TJ_1U$. Cualquier cantidad que se transforma de esta manera es un tensor.

De momento Angular (el producto del momento de inercia y la velocidad angular) es un vector, porque: $$ J_2 w_2 = U^TJ_1U U^Tw_1 = U^T(J_1 w_1) $$ La energía cinética es una magnitud escalar, que es intuitivo, pero se puede comprobar que el uso de las transformaciones anteriores. Para un objeto en el de traslación y el movimiento de rotación, $$ E = \frac{1}{2} m_1 v_1^T v_1 + \frac{1}{2} w_1^T J_1 w_1 = \frac{1}{2} m_2 v_2^T v_2 + \frac{1}{2} w_2^T J_2 w_2 $$ Y así sucesivamente.

Answer 3

Un enfoque común para la visualización de los tensores simétricos científica, visualización de datos es el uso de lo que se llama "tensor de glifos" (véase, por ejemplo,"Supercuádricas Tensor de Glifos" por Kindlmann, 2004). La idea básica de la ayuda para la visualización de los tensores de forma intuitiva, demasiado. Realmente sólo tiene sentido para simétrica tensores, pero luego, muchos de los tensores que surgen en física son simétricas.

(Desde mi familiaridad es sólo con álgebra lineal y no tensor de análisis, voy a equiparar "tensor" y "matrix" en el siguiente. De acuerdo a las respuestas a esta pregunta, este no es horriblemente malo.)

Supongamos que el tensor $T$ es simétrica y definida positiva. Tratarlo como una matriz, y transformar la unidad de la esfera de $S = \{x : \|x\| = 1\}$ con él para conseguir un elipsoide $TS = \{x : \|T^{-1}x\| = 1\}$. El elipsoide de ejes son paralelos a $T$'s vectores propios, con longitudes proporcionales a los correspondientes autovalores. Esto tiene algunas otras buenas propiedades:

• La matriz identidad es representado por una unidad de la esfera.
• La multiplicación escalar $\alpha T$ uniformemente escalas del elipsoide por $\alpha$.
• Un tensor con uno grande y dos pequeños autovalores se ve como un segmento de línea que apunta a lo largo del gran autovector.
• Un tensor con dos grandes y uno pequeño autovalores se ve como un disco normal a la pequeña autovector.
• La asignación entre simétrica positiva definida matrices/tensores y elipsoides centrado en el origen es bijective.

Si su tensores son simétricas pero no positiva definida, todavía se puede visualizar en términos de las deformaciones de la unidad de la esfera, correspondiente a $I + \epsilon T$. Ahora un autovalor negativo corresponde a la contracción, y un resultado positivo para el estiramiento.

Answer 4

Una forma de "visualizar" un 2-tensor (en la presencia de un producto interior) es como sigue: un vector $X$ puede ser considerado como una función de mapeo de cada dirección $D$ a un escalar en un lineal y homogénea de la moda, es decir, el producto interior $X\dot D$. En el mismo sentido, un 2-tensor es una función de mapeo de las direcciones de los vectores linealmente y de manera homogénea.

Answer 5

Imagine un cubo de esponja . Pulse con dos dedos en dos opuestas, paralelas caras.Mientras tanto dar un paralelo de estrés en los otros lados también. Si usted representa que el uso de un tensor, que sería un rango de dos tensor.

Cada cara tiene dos índices.