Teorema de la mentira para los primos asociados

Question

Supongamos que $ B \hookrightarrow A $ es un homomorfismo de anillo inyectivo.

Pregunta: Si $\mathfrak{p}$ es un primo asociado de $B$ ¿existe un primo asociado $ \mathfrak{q}$ de $A$ tal que $ \mathfrak{q} \cap B = \mathfrak{p}$ ?

Algunos comentarios:

• Esto es cierto si $ \mathfrak{p}$ es un primo mínimo de $B$ . Sólo hay que tomar una prima asociada de $ (B \backslash \mathfrak{p})^{-1} A$ . Así que el único problema es con los primos incrustados
• La pregunta es una traducción algebraica de la siguiente pregunta más geométrica: Si $X \to Y$ es un morfismo cuasicompacto de esquemas noeterianos, es cada punto asociado de la imagen esquemática golpeado por algún punto asociado de $X$ ?

Answer 1

Permítanme explicar por qué la afirmación es cierta. Dejemos que $i:B\to A$ sea una inyección de anillos noetherianos y $\mathfrak{p}$ sea un primo asociado de $B$ es el aniquilador de un elemento no nulo $f\in B$ .

Localicemos primero en $\mathfrak{p}$ . Más concretamente, la sustitución de $B\to A$ por $B_{\mathfrak{p}}\to A\otimes_B B_{\mathfrak{p}}$ es posible suponer que $B$ es local con ideal máximo $\mathfrak{p}$ .

Dejemos que $I$ sea el ideal de $A$ generado por $i(f)$ , visto como un $A$ -módulo. Dado que $I\neq 0$ por inyectividad de $i$ tiene un primo asociado $\mathfrak{q}\subset A$ . Esto significa que hay $a\in A$ tal que $\mathfrak{q}$ es el aniquilador de ai(f). Nótese que $\mathfrak{q}$ también se asocia a $A$ y comprobemos que tiene las propiedades requeridas. Como $\mathfrak{p}$ aniquila $f$ , $\mathfrak{q}\cap B$ contiene $\mathfrak{p}$ . Desde $\mathfrak{p}$ es máxima, $\mathfrak{q}\cap B=\mathfrak{p}$ .

Answer 2

Poner $B=k[x,y]/(xy,y^2)$ y $A=B[z]/(yz-x)$ . Entonces $(y)$ es un primo asociado (¡de hecho mínimo!) de $B$ . Pero cualquier primo de $A$ que contiene $(y)$ también debe contener $x$ y, por tanto, no puede contraerse a sólo $(y)$ .