¿Es un cociente de anillo de polinomios Cohen-Macaulay?

Question

Dejemos que $R = \mathbb{R}[x_1 , \ldots , x_n]$ sea un anillo polinómico y $I \subset R$ sea un ideal principal con $I = \langle f \rangle$ . Sé que $R$ es un anillo CM. Así que mi pregunta es esa:

1. Es el anillo de cociente $R/I$ también CM para cualquier $I \subset R$ ?
2. Si $R/I$ es CM, entonces el cociente $R/I^2$ también CM donde $I^2 = \langle f^2 \rangle$ ?

Answer 1

La respuesta a ambas (1) y (2) es sí. De forma más general tenemos lo siguiente:

Propuesta. Si $R$ es cualquier dominio CM con ideal principal $I$ entonces $R/I$ es CM.

Prueba. En primer lugar, recordemos la definición de los anillos CM (no locales), de Proyecto Stacks :

Definición 10.103.6. Un anillo noetheriano $R$ se llama Cohen-Macaulay si todos sus anillos locales son Cohen-Macaulay.

y un dato de la página de Wikipedia Anillo de Cohen-Macaulay :

( $\bullet$ ) Para un divisor no nulo $u$ en el ideal máximo de un anillo local noetheriano $R$ , $R$ es Cohen-Macaulay si y sólo si $R/(u)$ es Cohen-Macaulay.

Para $\mathfrak p \in \operatorname{Spec}R$ sabemos $R_{\mathfrak p}$ es CM y $I_\mathfrak p$ es principal. Por ( $\bullet$ ), encontramos que para todo $\mathfrak p \supset I$ el cociente $R_{\mathfrak p}/I_\mathfrak p$ es CM. Tal $\mathfrak p$ corresponden precisamente a los ideales primos $\bar{\mathfrak p}$ de $R/I$ . Por último, ya que $(R/I)_{\bar{\mathfrak p}} = R_{\mathfrak p}/I_{\mathfrak p}$ la proposición es la siguiente. $\square$