Rango de valores que satisfacen esta desigualdad

Question

Consideremos la siguiente desigualdad:

$$|f(a)| = \left|\frac{1}{2}(a \pm \sqrt{a^{2}-2})\right| \leq 1$$

Obtuve esta desigualdad mientras realizaba el análisis de estabilidad de un punto fijo de un cierto sistema dinámico discreto. Podemos ver fácilmente que $f(a)$ es de valor complejo en $(-\sqrt{2}, \sqrt{2})$ . Pero este no es el caso fuera de este rango. Debido a esto, creo que no puedo escribir:

$$-1 \leq f(a) \leq 1$$

Entonces, ¿cómo puedo encontrar el rango de valores de $a$ que satisfacen esta desigualdad?

Gracias de antemano.

Answer 1

Tratar $a\ge \sqrt{2}$ y $a\le -\sqrt{2}$ por separado. Los análisis son muy parecidos.

Para $a\ge \sqrt{2}$ ya que $0\le a-\sqrt{a^2-2}\le a+\sqrt{a^2-2}$ queremos $a+\sqrt{a^2-2}\le 2$ . De forma equivalente, queremos $a^2-2\le (2-a)^2$ ya que claramente $a\lt 2$ .

La manipulación da $a\le 3/2$ . Obtenemos la desigualdad $\sqrt{2}\le a\le 3/2$ .