La integral de Lebesgue de una función no negativa

Question

Quiero demostrar lo siguiente:

Si $f 0$ es medible con respecto a la medida $m$ y $\mu_f (\lambda) = m(\{x : f(x) > \lambda\})$ entonces $\int f dm = \int_{0}^{\infty} \mu_f (\lambda) d\lambda$ donde $d\lambda$ es la medida de Lebesgue.

Utilizo el hecho de que $f(x)= \int_{0}^{f(x)} 1 d\lambda$ . Luego aplico el Teorema de Fubini para cambiar las integrales.

Así que tengo : $\int_{X} f dm = \int_{X} \int_{0}^{f(x)} 1 d\lambda dm =\int_{0}^{f(x)} \int_{X} 1 dm d\lambda = \int_{0}^{f(x)} m(X) d\lambda $ .

¿Cómo puedo sustituir el límite superior de la integral por el infinito? Gracias

Answer 1

\begin{align} \int fdm&=\int\int_0^\infty 1\{f>\lambda\}d\lambda dm \\ &=\int_0^\infty\int 1\{f>\lambda\}dm d\lambda=\int_0^\infty m(\{f>\lambda\})d\lambda. \end{align}