¿Existen definiciones no discretas para el tamaño de una matriz?

Question

A lo largo de mi formación matemática me he dado cuenta de que para resolver un problema difícil con un conjunto de números ayuda pasar a un conjunto más amplio. Por ejemplo, restar algunos números naturales, $\mathbb{N}$ , requiere los números enteros, $\mathbb{Z}$ (por ejemplo $3-4$ no tendría sentido en un mundo con sólo los números naturales). Este patrón parece continuar, desde los números enteros hasta los números reales y los números complejos. También parece haber otro patrón que se mantiene con la idea de escalares a matrices a tensores, etc. Cada conjunto siguiente mantiene (o generaliza) el anterior.

Lo que he observado -en mi limitada formación matemática- es que las matrices se ciñen a los números naturales en su dimensionalidad. Es decir: $$i,j \in \mathbb{N},\mathbb{R}^{i\times j}$$

Mi pregunta se reduce a esto:

1. Matriz de la lata $A \in \mathbb{R}^{i\times j} : i,j \in \mathbb{C}$ ?
2. Si no, ¿por qué no?
3. Si es así, ¿qué significa que uno de estos objetos tenga una dimensión no natural? Por ejemplo, un vector, $v \in \mathbb{R}^{- \pi/2 \times 1} $ o una matriz $A \in \mathbb{R}^{0.5 \times -1} $ ? ¿Se puede representar un objeto así?

Answer 1

Un resultado quizás relacionado con lo que buscas, si no una respuesta directa:

Dados dos conjuntos cualesquiera $P$ y $Q$ se puede a partir de los espacios vectoriales $\mathbb{R}^P$ y $\mathbb{R}^Q$ que consiste en todas las funciones de $P$ (resp. $Q$ ) a $\mathbb{R}$ . Entonces las matrices que representan los mapas lineales de $\mathbb{R^P} \to \mathbb{R}^Q$ están dadas por elementos de $\mathbb{R}^{P \times Q}$ Funciones de $P \times Q \to \mathbb{R}$ .

Estos espacios vectoriales tienen una dimensión distinta a los números naturales (por ejemplo, si $P$ y $Q$ son infinitos), pero no tienen dimensiones como las que se pueden buscar: es decir, no son "complejos dimensionales", etc. En cambio, estos espacios vectoriales pueden tomar números cardinales como su dimensión.

En cuanto a un análogo "continuo" de la dimensión, no conozco ninguna forma razonable de dar sentido a un "espacio vectorial de dimensión $\frac{1}{2}$ ", y mucho menos uno de dimensión $2+i$ . También me parece poco probable que ese concepto exista. Dicho esto, nunca se me había ocurrido investigar esas cosas, y ya me he sorprendido antes. Quién sabe, ¡quizá tú seas la persona que desarrolle esa noción!

Editar:

Después de una breve búsqueda en Google, se ve así es algo que la gente ha pensado antes (al menos para la dimensión racional), pero la maquinaria es bastante compleja. Véase aquí por ejemplo.

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Espero que esto ayude ^_^

Answer 2

Si $A$ pueden ser cualquier número complejo, $A$ se convierte en un operador lineal que mapea una función $f$ de dominio $\Bbb C$ a $\int_{\Bbb C^2}A(x, \, y)f(y) dy$ . Esto implica considerar cada una de estas funciones $f$ como un vector en un espacio de dimensión $|\Bbb C|$ .