¿Cómo utilizar los polinomios de Lagrange para expresar la matriz de un operador lineal?

Question

Actualmente estoy repasando algunos de los ejercicios de Álgebra lineal de Hoffman y Kunze, 2ª edición, y me he encontrado con una duda que no sé cómo resolver. Se trata del ejercicio 5 de la sección 6.8.

Supongamos que $T$ es el operador lineal diagonalizable en $\mathbb R^3$ : $$ A = \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 2 & 0 \\ 0 & 0 & 2 \end{bmatrix}. $$ Ahora la parte que no entiendo es la siguiente:

Utiliza los polinomios de Lagrange para escribir la matriz $A$ en la forma

$$A=E_1+2E_2,\:\: E_1+E_2=I,\:\: E_1E_2=0.$$

Tengo la ecuación para $$p_j(x)=\frac{x-c_i}{c_j-c_i},$$ pero no estoy seguro de cómo aplicarlo a un $3 \times 3$ matriz. Cualquier ayuda será muy apreciada. Gracias.

Answer 1

Usted ha declarado el operador $T$ incorrectamente. $T$ es el operador diagonalizable en $\mathbb{R}^3$ discutido en el ejemplo 3 de la sección 6.2. Se representa en la base estándar de $\mathbb{R}^3$ por la matriz $$ A = \begin{bmatrix} \phantom{-}5 & -6 & -6 \\ -1 & \phantom{-}4 & \phantom{-}2 \\ \phantom{-}3 & -6 & -4 \end{bmatrix}. $$ En dicho ejemplo, los autores demostraron que $T$ tiene valores característicos $1$ y $2$ que es diagonalizable, y una base de $\mathbb{R}^3$ se calculó en el que $T$ está representada por la matriz diagonal $$ \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 2 & 0 \\ 0 & 0 & 2 \end{bmatrix}. $$ El objetivo del ejercicio es no para utilizar esta última representación de la matriz, porque eso es un error: para utilizarla hay que haber calculado ya la base en la que tiene esta bonita forma.

No, lo que queremos hacer es utilizar los operadores de proyección para describir el operador $T$ tal y como se nos da, con respecto a la base estándar.

El método para hacerlo se describe en la página 217. Calculamos los polinomios de Lagrange correspondientes a cada uno de los valores característicos $c_1 = 1$ y $c_2 = 2$ . En este caso, vienen dados simplemente por $$ \begin{align} p_1 = \frac{x - 2}{1 - 2} = 2 - x,\\ p_2 = \frac{x - 1}{2 - 1} = x - 1. \end{align} $$ Los mapas de proyección $E_1$ y $E_2$ vienen dadas por $p_1(T)$ y $p_2(T)$ respectivamente. Así que, $E_1$ está representada en la base estándar por la matriz $$ 2I - A = \begin{bmatrix} 2 & 0 & 0 \\ 0 & 2 & 0 \\ 0 & 0 & 2 \end{bmatrix} - \begin{bmatrix} \phantom{-}5 & -6 & -6 \\ -1 & \phantom{-}4 & \phantom{-}2 \\ \phantom{-}3 & -6 & -4 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} -3 & \phantom{-}6 & \phantom{-}6 \\ \phantom{-}1 & -2 & -2 \\ -3 & \phantom{-}6 & \phantom{-}6 \end{bmatrix}. $$ y $E_2$ está representada en la base estándar por la matriz $$ A - I = \begin{bmatrix} \phantom{-}5 & -6 & -6 \\ -1 & \phantom{-}4 & \phantom{-}2 \\ \phantom{-}3 & -6 & -4 \end{bmatrix} - \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} \phantom{-}4 & -6 & -6 \\ -1 & \phantom{-}3 & \phantom{-}2 \\ \phantom{-}3 & -6 & -5 \end{bmatrix}, $$