Demostrar que no existe $f\in L^2(R)$ tal que $\overline{{\rm span}\{f(\cdot-n):n\in Z\}}=L^2(R)$

Question

Demostrar que no existe $f\in L^2(R)$ tal que $$\overline{{\rm span}\{f(\cdot-n):n\in Z\}}=L^2(R).$$

En otras palabras, para cualquier función cuadrada $f$ el espacio de la extensión de todos los desplazamientos de $f$ es como máximo un subespacio propio de $L^2(R)$ .

Recordemos un hecho bien conocido, el teorema de la densidad de Werner, que $f\in L^2(R)$ implica que $$\overline{{\rm span}\{f(\cdot-x):x\in R\}}=L^2(R)$$ si y sólo si $\hat{f}\ne0$ a.e. Gracias por los consejos.

Answer 1

Se puede ver esto mirando el lado de Fourier:

Por el teorema de la densidad de Wiener que ya has expuesto, obtenemos $\widehat{f} \neq 0$ en casi todas partes (nótese el $\neq$ en lugar de $=$ ).

Ahora elige $g \in L^2(\Bbb{R})$ con $\widehat{g} = \chi_{(0,1)}$ .

Supongamos que $g \in \overline{\rm{span}\{f(\cdot -n) \,|\, n \in \mathbb{Z}\}}$ . Entonces hay una secuencia $g_n = \sum_{i=-m_n}^{m_n} \alpha_{i}^{(n)} f(\cdot -i)$ tal que $g_n \rightarrow g$ en $L^2$ . Como la transformada de Fourier es continua como un mapa $L^2 \rightarrow L^2$ obtenemos $\widehat{g_n} \rightarrow \widehat{g}$ en $L^2$ .

Cambiando a una subsecuencia, podemos asumir $\widehat{g_n} \rightarrow \widehat{g}$ casi en todas partes.

Pero ahora observe que

$$\widehat{g_n}(\xi) = \widehat{f}(\xi) \cdot \sum_{j=-m_n}^{m_n} \alpha_i^{(n)} e^{\pm 2\pi i j \xi},$$

donde puedes obtener un exponente ligeramente diferente dependiendo de la versión de la transformada de Fourier que estés utilizando. El $\pm$ viene del hecho de que puedo recordar el exponente correcto :)

Obsérvese que la función dada por la suma en la ecuación anterior es periódica de periodo $1$ . Llámalo $h_n$ . Debido a $\widehat{f} \neq 0$ en casi todas partes, obtenemos

$$h_n = \frac{\widehat{g_n}(\xi)}{\widehat{f}(\xi)} \rightarrow \frac{\widehat{g}(\xi)}{\widehat{f}(\xi)}$$

casi en todas partes.

Pero el lado derecho desaparece en $\Bbb{R}\setminus (0,1)$ y el lado izquierdo es periódico con periodo $1$ por lo que el límite debe ser también periódico con periodo $1$ (hasta "casi todos los problemas").

Derivamos $\widehat{g} = $ casi en todas partes, una contradicción.

Answer 2

$\newcommand{\span}{\operatorname{span}}$ Es equivalente a construir una función no trivial en $L^2(\Bbb{R})$ de manera que sea una función lineal sobre $L^2(\Bbb{R})$ se desvanece en el conjunto $\span \{\phi(\cdot-n):n\in\Bbb{Z}\}$ . Supongamos que $h\in L^2(\Bbb{R})$ es ortogonal a cada $\phi(\cdot-n)$ , $n\in\Bbb{Z}$ a saber, $$ \langle h,\phi(\cdot-n) \rangle=\int_\Bbb{R} \phi(t-n)h(t)dt=0, \mbox{ for all } n\in\Bbb{Z}. $$ Esto equivale a $$ \int_\Bbb{R} \overline{\hat{h}}(\xi)\hat{\phi}(\xi)e^{-i2\pi n\xi}d\xi=0, \mbox{ for all } n\in\Bbb{Z}. $$ Descomponemos $\Bbb{R}$ el dominio de integración, en uniones del intervalo $[k,k+1]$ , $k\in\Bbb{Z}$ . Por lo tanto, $$ \sum_{k\in\Bbb{Z}}\int_k^{k+1} \overline{\hat{h}}(\xi)\hat{\phi}(\xi)e^{-i2\pi n\xi}d\xi=0, \mbox{ for all } n\in\Bbb{Z}. $$ Se reduce a $$ \int_0^1 \Big(\sum_{k}\overline{\hat{h}}(\xi+k)\hat{\phi}(\xi+k)\Big)e^{-i2\pi n\xi}d\xi=0, \mbox{ for all } n\in\Bbb{Z}. $$ Señalaremos que $\sum_{k\in\Bbb{Z}}\overline{\hat{h}}(\xi+k)\hat{\phi}(\xi+k)\in L^1([0,1])$ desde $\phi, h\in L^2(\Bbb{R})$ . Utilizando el hecho de que la transformada de Fourier es inyectiva de $L^1([0,1])$ a $l^\infty(\Bbb{Z})$ obtenemos $$ \sum_{k\in\Bbb{Z}}\overline{\hat{h}}(\xi+k)\hat{\phi}(\xi+k)=0,\mbox{ almost everywhere } \xi\in [0,1]. $$ Para $\phi\in L^2(\Bbb{R})$ tenemos $\hat{f}\ne 0$ (en $L^2(\Bbb{R})$ ) en $[j,j+1]$ para ciertos $j\in\Bbb{Z}$ . Si no es así, $\hat{f}=0$ por el teorema de Plancherel, tenemos $f=0$ y luego $\span \{\phi(\cdot-n):n\in\Bbb{Z}\}=\{0\}$ evidentemente no es denso en $L^2(\Bbb{R})$ . Dejemos que $j'\in\Bbb{Z}$ con $j'\ne j$ . Introduzca $$ \hat{h}(\xi):=\left\{\begin{array}{ll} \overline{\hat{\phi}}(\xi-j+j'),& j\le \xi\le j+1,\\ -\overline{\hat{\phi}}(\xi-j'+j),& j'\le \xi\le j'+1,\\ 0,&\mbox{otherwise}. \end{array} \right. $$ Sustituyendo $\hat{h}$ en () se obtiene para $\xi\in [0,1]$ $$ \sum_{k\in\Bbb{Z}}\overline{\hat{h}}(\xi+k)\hat{\phi}(\xi+k) =\overline{\hat{h}}(\xi+j)\hat{\phi}(\xi+j)+\overline{\hat{h}}(\xi+j')\hat{\phi}(\xi+j') =\hat{\phi}(\xi+j')\hat{\phi}(\xi+j)-\hat{\phi}(\xi+j)\hat{\phi}(\xi+j')=0. $$ Tenga en cuenta que la construcción de $\hat{h}$ implica $h\in L^2(\Bbb{R})$ y $h\ne0$ , lo que completa la prueba.