Al responder esta pregunta Me he quedado perplejo con este loco sistema con un gráfico maligno : $$\begin{cases} 18xy^2+x^3=12 \\ 27x^2y+54y^3=38 \end{cases}$$ y me pregunto si hay algún método hábil para encontrar la única raíz real $(x, y)=(2, 1/3)$ sin depender de la fórmula de Cardano, lo ideal es dar alguna intuición. Esto remonta estrechamente algún tipo de curvas elípticas, por lo que lo etiqueto como tal, por favor, elimine si está equivocado. Los enfoques de la teoría de los números son bienvenidos.
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Dietrich Burde
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En efecto, todas las soluciones racionales vienen dadas por $(x,y)=(2,1/3)$ . Podemos ver esto sin ninguna teoría sobre curvas elípticas, sino simplemente con un cálculo: Sustituyendo $y^2=(12-x^3)/(18x)$ de la primera ecuación en la segunda para obtener $y=19x/(6(2x^3+3)$ . Esto a su vez da el siguiente resultado: $$ (x-2)(x^2 + 2x + 4)(2x^2 + 4x + 3)(4x^4 - 8x^3 + 10x^2 - 12x + 9)=0 $$ Obviamente, sólo $x=2$ es una solución racional para $x$ . También vemos, que es la única solución real.
Tiene sentido cambiar las variables, dejando $v=3y$ y $x=2u$ , por lo que lo que buscamos es $(u,v)=(1,1)$ . Las ecuaciones se convierten en
$$\begin{cases} uv^2+2u^3=3\\ 18u^2v+v^3=19\\ \end{cases}$$
Multiplicando el primero por $19$ y el segundo por $3$ y restando se obtiene
$$38u^3-54u^2+19uv^2-3v^3=(u-v)(38u^2-16uv+3v^2)=0$$
El término cuadrático se ve fácilmente que es no negativo:
$$9v^2-48uv+114u^2=(3v-8u)^2+50u^2$$
Por lo tanto, debemos tener $u=v$ . Introduciendo esto en cualquiera de las dos ecuaciones se obtiene el resultado deseado, $u=v=1$ .
Añadido más tarde : Sólo para elaborar, las ecuaciones dadas se convierten en algo de la forma
$$\begin{cases} ru^3+(1-r)uv^2=1\\ sv^3+(1-s)u^2v=1\\ \end{cases}$$
Esto lleva a
$$(u-v)\left(ru^2-(1-r-s)uv+sv^2\right)=0$$
y la cuadrática no aporta nada a la solución (real) si $(1-r-s)^2\lt4rs$ .
Tito Piezas III
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