Resultado de finitud para la imagen directa superior de $\ell$ -serpentinas de la vida cotidiana

Question

Dejemos que $f:X\to Y$ sea un mapa representable de tipo finito (¿o es suficientemente dimensional?) de pilas de Artin, cuyas fibras (que son esquemas) tienen dimensión a lo sumo $n$ . Entonces, ¿es cierto que $R^qf_*\mathbf{Q}_\ell=0$ para todos $q\gg 0$ ?

Nota: al tomar atlas, creo que es suficiente con dejar $X,Y$ ser esquemas.

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Editar : Will Sawin señaló que la pregunta tal y como estaba planteada era obviamente falsa, la he editado para eliminar esa afirmación falsa.

Answer 1

$Y$ admite un morfismo suave y suryente desde un esquema $Z$ . Porque los morfismos suaves son localmente de tipo finito, $Z \to Y$ es localmente de tipo finito, y puede elegir una cubierta abierta que cubra $Y$ y luego pasar a una subcubierta finita para hacer $Z$ de tipo finito.

Como este morfismo es suave, por cambio de base suave el pullback de $R^q f_* \mathbf Q_\ell$ a $Z$ es el pushforward de $\mathbb Q_\ell$ de $Z \times_Y X$ a $Z$ . Como este morfismo es suave, basta con demostrar un límite para este pushforward.

Si $Z \to Y$ es un morfismo esquemático (esto podría ser un poco más fuerte que las fibras sean esquemas) entonces $Z \times_Y X$ es un esquema, también de tipo finito. La acotación se deduce entonces de los resultados clásicos - mod $\ell$ La cohomología es un límite sobre la cohomología de vecindades, y éstas son de tipo finito de dimensión acotada.