Hace poco aprendí a probar que mostrar $(x_n)$ es convergente a $L$ basta con demostrar que su sucesión de términos pares e Impares convergen a $L$
Pero me pregunto, ¿podemos hacerlo mejor y generalizar un poco? Voy a escribir algunas de mis reflexiones, puede que me falte algo de rigor así que disculpen.
Dejemos que $(x_n)_{n \in \mathbb{N}}$ sea una secuencia real. Sea $T_1, T_2,\ldots, T_k \subseteq \mathbb{N}$ sea infinito subconjuntos de $\mathbb{N}$ tal que $\bigcup_{i=1}^k T_i = \mathbb{N}$ entonces, puedo reclamar algo como:
Si $(a_n)_{n \in T_i}$ converge a $L$ para cada $i$ entonces $\lim\limits_{n \to } a_n =L$
Mi intuición me dice que esto debería ser cierto, aunque no estoy seguro de cómo podría empezar a demostrar tal cosa. Si no es cierto, entonces... ¿por qué?
Prueba 1:
Si $(a_n)_{n \in T_i} \to L, \forall \, i \, (1ik)$ entonces $$\forall \, \epsilon >0, \exists \, N_i \in \mathbb{N}, N_i \in T_i : \forall \, n N_i, n \in T_i \Rightarrow |a_n-L| < \epsilon $$ Dejemos que $N = \max\limits_{1ik} N_i$ entonces $$\forall \, n N, n \in T_i \Rightarrow |a_n-L| < \epsilon, \forall \, i \, (1ik)$$ es decir $ \forall \ n \, (n \in T_1$ o $n \in T_2$ o $\ldots$ o $n \in T_k, n N) \Rightarrow |a_n-L| < \epsilon$ y así, $$\forall \, n N, n \in \bigcup_{i=1}^n T_i \Rightarrow |a_n-L| < \epsilon $$ o $$\forall \, n N, n \in \mathbb{N} \Rightarrow |a_n-L| < \epsilon$$ Por lo tanto, la prueba está completa. ¿Es esto correcto?
Prueba 2: Esta prueba será la reescritura de la prueba 1 pero con una notación alternativa que es la notación de subsecuencia.
Dejemos que $T_i = \{t_n^i \in \mathbb{N}: n \in \mathbb{N} \}\subseteq \mathbb{N}$ , tenga en cuenta que $t_n^i$ denota el $n$ posición en la secuencia de $T_i$ es decir $(a_n)_{n \in T_i} = (a_{t_{n}^i} )_{n \in \mathbb{N}}$ como $(t_n^i)$ es una secuencia estrictamente creciente en $T_i$ .
Dicha secuencia $(t_n^i)$ existe en $T_i$ porque $T_i$ es un subconjunto infinito de $\mathbb{N}$ con la ordenación habitual de $\mathbb{N}$ por lo que puedo construir una secuencia estrictamente monótona en $T_i$ como: $t_1^i <t_2^i <t_3^i< \ldots<t_n^i<\ldots $ . No sé cómo escribir esta parte con más rigor.
El resto de la prueba sería similar a la 1 simplemente eligiendo un máximo $N_i$ .
