Supongamos que mi definición de una álgebra booleana es la siguiente: Tengo un conjunto $B$ con dos operaciones binarias $\vee$ y $\wedge$ que satisfacen las leyes conmutativa, asociativa y distributiva. Ambas operaciones tienen un elemento de identidad ( $0$ y $1$ ) y para cada elemento $b\in B$ existe un complemento (es decir, un elemento $b{'}\in B$ tal que $b\vee b{'}=1$ y $b\wedge b{'}=0$ ).
Ahora he encontrado la siguiente definición de Álgebra de Boole. Sea $B$ sea un conjunto sobre el que definimos una operación binaria $\cap$ y una operación unaria ${'}$ . También exigimos que esas operaciones cumplan las siguientes reglas:
1) $x\cap y=y\cap x$ para cada $x,\, y\in B$
2) $(x\cap y)\cap z=x\cap (y\cap z)$
3) $x\cap y{'}=z\cap z{'}$ si $x\cap y=x$
¿Son definiciones equivalentes? Estaba tratando de resolver el asunto de la siguiente manera.
a) Primero podemos poner $0:=z\cap z'$ por la propiedad 3).
b) Podemos definir $x\cup y:=(x{'}\cap y{'}){'}$ y poner $0{'}=:1$ y podemos demostrar la ley conmutativa para $\cup$ .
De todos modos no puedo demostrar la asociatividad de $\cup$ o la distributividad o incluso el hecho de que el $0$ y $1$ son elementos de identidad.
