¿Existe una función continua de soporte compacto con transformada de Fourier fuera de L ^ 1?

Question

Sea f una función de valor complejo de una variable real, continua y con soporte compacto. ¿Puede tener una transformada de Fourier que no sea integrable de Lebesgue?

Answer 1

Hay un ejemplo explícito en la dimensión 2 o más, es decir: sqrt (1- | x | ^ 2) en el disco de la unidad. Este es el multiplicador de Bochner-Riesz (para delta = 1/2). La divergencia de la derivada en el límite del disco es exactamente lo que se necesitaba.

Answer 2

Un contraejemplo de tal función es una ruta de muestra W de un movimiento browniano en [0, 1]. Es continuo en [0, 1] y, sin embargo, su transformación de Fourier FW (u) decae en el infinito con una velocidad menor que U ^ {- 1/2} y, por lo tanto, FW no está en L ^ 1.