¿Por qué las funciones zeta contienen tanta información?

Question

¿Existe alguna explicación intuitiva de por qué las funciones zeta de Dedekind contienen tanta información sobre su campo numérico?

Por ejemplo, el residuo en el polo$s=1$ relaciona varias invariantes del campo numérico. la fórmula del número de clase .

Answer 1

Esto no es tanto una respuesta como un comentario general que podría ayudar a reducir su sorpresa: un número que es producto de varios números importantes en realidad codifica menos información que cualquiera de esos números individualmente. Todo lo que obtienes es que si puedes calcularlos todos excepto uno, entonces conoces el último. En otras palabras, no debería pensar en la función zeta como "conocer" todos esos invariantes.

Answer 2

Si escribe la serie de Dirichlet de la función zeta de Dedekind, el coeficiente n-ésimo cuenta el número de ideales de la norma n. Es bastante obvio que la recopilación de esos recuentos para n = 1,2,3, ..., tomada en su totalidad, debe contener una gran cantidad de información.