Este ejercicio se parece a lo que hacemos cuando creamos la medida de Lebesgue, pero no es exactamente lo mismo.
Un intervalo puede ser de cualquier tipo: $(a,b),[a,b),(a,b],(a,a),[a,a],[a,\infty],[a,\infty],(-\infty,b),(-\infty,b]$ .
Supongamos que $\{C_n\}_n$ es una colección contable de intervalos, y también asumimos que C es un intervalo con $C \subset \cup C_n$ .
Demostrar que $l(C)\le\Sigma_nl(C_n)$ donde la longitud de los intervalos se definidos de la manera obvia.
Para resolver esto, he probado 3 casos diferentes.
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Una $l(C_n)=\infty$ .
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$l(C)<\infty$ , todos $l(C_n)<\infty$
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$l(C)=\infty$ , todos $l(C_n)<\infty$
Tengo una solución sugerida para la 1 y la 2, por favor vean si están de acuerdo, en la 3 no sé qué hacer, así que aquí necesito ayuda.
- Esto es trivial, porque la RHS es entonces inmediatamente infinita.
2.Dado $\epsilon$ si C no está cerrado, ciérralo y cubre los puntos finales de los intervalos de longitud $\epsilon$ . Obtener una enumeración contable de todos los extremos de los intervalos para el $C_n$ si alguno de estos intervalos está cerrado en uno o más puntos finales, ábrelos, pero luego cubre el punto que abriste con un intervalo de longitud $\epsilon/2^n$ .
Entonces tenemos un conjunto compacto, con una cobertura abierta, por lo que debe tener una subcobertura finita. Es fácil comprobar que si tenemos un número finito de intervalos, cubriendo un intervalo, la suma de los intervalos debe ser mayor o igual que el intervalo que cubre, por lo que obtenemos:
$l(C)$ $\le \Sigma_{\text{finite subcovering}} l(C_k)\le\Sigma_nl(C_n)+3\epsilon$ . Por lo tanto, $l(C)\le\Sigma l(C_n)$ .
¿Es esto correcto?
- ¿Tiene algún consejo para el caso de que $l(C)=\infty$ ¿pero todos los demás intervalos son finitos?
PD: Si no quieres comprobar o dar pistas, sino que tienes tu propia solución, también te lo agradecería.
