Comprobar si un estimador es insesgado

Question

Variable $Z$ es una variable aleatoria y puede ser $1$ o $0$ con probabilidad $\frac{1}{2}.$ Hay un conjunto de $Z$ es decir $\{Z_{1},\dots,Z_{8}\}$ . ¿Es este estimador del valor esperado de $Z$ ( $E(Z)$ ) es imparcial: $\hat{E(Z)}=Z_{1} + \frac{1}{3}Z_{2}$ . ¿Cómo puedo comprobarlo? Sé que es insesgada si su valor esperado es igual a su valor. Pero no entiendo cómo mostrarlo aquí

Answer 1

Usted tiene $Z = Z_1 +\cdots + Z_8 \sim \mathsf{Binom}(n = 8, .5).$ El valor esperado $\mu = E(Z) = np = 8(.5) = 4.$

Un estimador de $\mu$ es $\hat\mu = Z,$ que tiene $E(\hat \mu) = 4$ y por lo tanto es imparcial.

Sin embargo, $Z_i \sim \mathsf{Bern}(.5)$ con $$E(Z_1 + .5Z_2) = 1.5E(Z_i) = 1.5(.5) = 0.75 \ne \mu = 4$$ y por lo tanto es parcial.

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Adenda: Otro imparcialidad estimador de $\mu$ es $Y= 4(X_1+X_2),$ que tiene $E(Y) = 4.$

Sin embargo, $Z$ es un mejor estimador de $\mu$ porque $Z$ tiene una varianza menor que $Y.$

Específicamente, $Var(Z) = np(1-p) = 8/4 = 2$ y $Var(Y) = 16Var(Z_1+Z_2) = 8 > Var(Z) = 2.$

Simulación: Algunos estudiantes encuentran útiles las simulaciones y otros no. En caso de que lo hagan, aquí están los resultados de 100.000 muestras Bernoulli de tamaño 8, que deberían ser suficientes para un par de puestos de precisión:

set.seed(2020)
x1 = rbinom(10^5,1,.5); x2 = rbinom(10^6,1,.5)
x3 = rbinom(10^5,1,.5); x4 = rbinom(10^6,1,.5)
x5 = rbinom(10^5,1,.5); x6 = rbinom(10^6,1,.5)
x7 = rbinom(10^5,1,.5); x8 = rbinom(10^6,1,.5)

z = x1+x2+x3+x4+x5+x6+x7+x8
mean(z)
[1] 3.994101   # aprx E(Z) = 4
var(z)
[1] 1.993752   # aprx Var(X) = 2

mean(x1+.5*x2)
[1] 0.744472   # aprx E(X1+.5X2) BIASED

y = 4*(x1 + x2)
mean(y);  var(y)
[1] 3.978656   # aprx E(Y) = 4 UNBIASED
[1] 7.990656   # aprx Var(Y) = 8 > 2