Cuáles son los ideales del álgebra de Lie del triángulo superior $ n \times n $ matrices sobre un campo $F$ .?

Question

Si dejamos que $ \mathfrak{b}(n,F) $ sea el álgebra de Lie del triángulo superior $ n \times n $ matrices sobre un campo $F$ entonces $\mathfrak{n}(n,F)$ , el álgebra de Lie de los estrictamente superiores $ n \times n $ matrices sobre el campo $F$ es un ideal de $ \mathfrak{b}(n,F) $ .

He tratado de encontrar todos los ideales de $ \mathfrak{b}(n,F) $ es decir $(0), Z:$ el centro de $ \mathfrak{b}(n,F) $ , $\mathfrak{n}(n,F)$ y $ \mathfrak{b}(n,F) $ mismo. ¿Qué ideales quedan?

Mi pregunta es: ¿existen otros ideales de $ \mathfrak{b}(n,F) $ ?

En $S_1=\big(\begin{smallmatrix} a & b\\ 0 & 0 \end{smallmatrix}\big)$ , $S_2=\big(\begin{smallmatrix} 0 & b\\ 0 & c \end{smallmatrix}\big)$ o $\big(\begin{smallmatrix} a & b\\ 0 & a \end{smallmatrix}\big)=Z+S_1=Z+S_2$ ¿son ideales?

Cualquier ayuda será apreciada, gracias de antemano.

Answer 1

Su elección de $n$ es demasiado pequeño. De hecho se sabe que el álgebra de Lie del triángulo superior $n$ matrices dimensionales es resoluble, lo que significa que si $\mathfrak{b}_{r+1} = [\mathfrak{b}_r, \mathfrak{b}_r]$ donde $\mathfrak{b}_0= \mathfrak{b}$ se ve que la serie de $\mathfrak{b}_r$ -son estrictamente descendentes y son también una cadena de ideales descendentes en $\mathfrak b$ .