Demostrando que $A=\left\{\dfrac{n}{2n+1}:n \in \mathbb{N}\right\}$ está limitada por $\dfrac{1}{2}$

Question

Dejemos que $A=\left\{\dfrac{n}{2n+1}:n \in \mathbb{N}\right\}$ . Quiero demostrar que $supA=\dfrac{1}{2}$ por lo que tengo que demostrar que $$\forall\epsilon\gt0 \exists a\in A:a\gt\dfrac{1}{2}-\epsilon$$

Entonces, supongamos por contradicción que $$\exists \epsilon\gt0 \forall a\in A:a\le\dfrac{1}{2}-\epsilon$$

lo que significa esencialmente que $$n \le ( \dfrac{1}{\epsilon}-1)\cdot \dfrac{1}{2}$$ y esto no es posible ya que los números naturales no están acotados por arriba.

¿Estoy en lo cierto? Esto parece demasiado fácil - podría haber introducido cualquier otro número (más pequeño que $\frac{1}{2}$ ) y demostrar lo mismo.

Answer 1

La idea es correcta, los cálculos no estoy tan seguro como me sale $$\exists \epsilon >0\,\,s.t.\,\,\forall n\in\mathbb{N}\,\,,\,\frac{n}{2n+1}\leq\frac{1}{2}{-\epsilon}\Longleftrightarrow \rlap{/}{n}\leq \rlap{/}{n}+\frac{1}{2}-2n\epsilon-\epsilon\Longleftrightarrow$$$$ \N-\N-epsilon n\N-epsilon n\N-epsilon n\N-epsilon n\N-epsilon n\N-epsilon n\N-epsilon n\N-epsilon n\N-epsilon n\N-epsilon n\N-epsilon n\N-epsilon n\N-epsilon n\N-epsilon n\N-epsilon n\N-epsilon n\N-epsilon.

Answer 2

En primer lugar, compruebe que para cada $n \in \mathbb{N}$ $$ \frac{n}{2n+1} \leq \frac12. $$ Esto es trivial. El hecho de que $1/2=\sup A$ en este caso se deduce del hecho de que $$ \lim_{n \to +\infty} \frac{n}{2n+1} = \frac12. $$ Esto implica, en efecto, que $\sup A$ no puede ser menor que $1/2$ .

Answer 3

Sólo has tratado una parte del problema: también tienes que demostrar que $\frac{1}{2}$ es en realidad un límite superior para el conjunto. No es un problema que esta parte de la prueba también funcione para cualquier número menor o igual a $\frac{1}{2}$ ya que lo que está mostrando es que cualquier número menor que $\frac{1}{2}$ no puede ser el supremum, por lo que claramente también es cierto que cualquier número menor que $k$ , para $k<\frac{1}{2}$ tampoco puede ser el supremum.

Answer 4

Si realmente quieres mostrar el límite:

Una pista: $\frac{n}{2n+1}\leq\frac{n}{2n}$

(Por supuesto, siempre que $0\leq a\leq b$ entonces $\frac{1}{b}\leq\frac{1}{a}$ .)

Si en cambio te interesa más el límite,

Sugerencia: calcular $\lim_{n\rightarrow\infty}|\frac{n}{2n+1}-\frac{1}{2}|$

Answer 5

Puedes usar una prueba por contradicción incrustada en una prueba por inducción:

A prueba de inducción:
Comprobación de verdad para n=0 y n=1: 0: 0/(2x0+1) = 0; 1: 1/(2x1+1)=1/3 (sip)
Ahora asume que es cierto para k y comprueba que es cierto para k+1:
Así que tenemos que demostrar: k+1/2(k+1)+1 <= 1/2
Asume lo contrario y busca la contradicción:
k+1/2(k+1)+1 > 1/2
\=> k+1/2k+2+1 > 1/2
\=> k+1/2k+3 > 1/2
\=> 2k+2>2k+3
\=> k>k+1/2
Lo cual es claramente una contradicción, por lo que la suposición inicial es falsa, por lo que la opuesta es verdadera:

k+1/2(k+1)+1 <= 1/2

así que hemos demostrado que n/2n+1<=1/2 es cierto para n=0 y n=1 y n=k+1; por tanto, por inducción es cierto para todo N

Gracias
El Grinch