producto tensorial y producto directo de presentaciones algebraicas

Question

Dejemos que $R$ sea un anillo unital conmutativo y $R\langle x_i\mid f_j\rangle$ denotan un unital $R$ -Presentación del álgebra.

Q1: ¿Cuál es la presentación de $R\langle x_i\mid f_k\rangle\otimes R\langle y_j\mid g_l\rangle$ ? Debe ser $R\langle x_i,y_j\mid f_k,g_l,h_m\rangle$ para algunos $h_m$ .

Q2: ¿Cuál es la presentación de $R\langle x_i\mid f_k\rangle\oplus R\langle y_j\mid g_l\rangle$ ?

Answer 1

Q1. Supongo que por $A \otimes_R B$ te refieres a la $R$ -que tiene como subyacente $R$ -el producto tensorial del módulo subyacente $R$ -y cuya estructura algebraica viene dada por $1 := 1 \otimes 1$ y $(a \otimes b) (a' \otimes b'):=aa' \otimes bb'$ . Este $R$ -tiene la siguiente propiedad universal: Los homomorfismos $A \otimes_R B \to C$ corresponden 1:1 a pares de homomorfismos $f : A \to C$ y $g : B \to C$ que conmutan en el siguiente sentido: Para $a \in A$ y $b \in B$ tenemos $f(a) g(b)=g(b) f(a)$ . Por lo tanto, podría llamarse "coproducto conmutativo". Se deduce inmediatamente que

$R\langle X,F \rangle \otimes_R R\langle Y,G \rangle = R \langle X \cup Y : F \cup G \cup \{xy-xy : x \in X, y \in Y\}\rangle$

Q2. ¿Se refiere al coproducto en la categoría de $R$ -¿las álgebras? En ese caso, tenemos $R \langle X,F \rangle \oplus R \langle Y,G \rangle = R\langle X \cup Y ,F \cup G \rangle$ . ¿O te refieres al producto directo (que, por desgracia, a menudo se denota por $\oplus$ Ver también aquí )? En ese caso, tenemos $R \langle X,F \rangle \times R \langle Y,G \rangle = R \langle X,Y,e : e^2=e, Fe, Ge^{\perp}, x=ex=xe, y=e^{\perp} y=e^{\perp} y\rangle$ . Por $Fe$ Quiero decir que cada ocurrencia de $1$ en una relación tiene que ser sustituido por $e$ . La razón es la siguiente propiedad (co)universal del producto directo de dos $R$ -algebras: Un homomorfismo $A \times B \to C$ corresponde a un idempotente $e \in C$ (la imagen de $(1,0)$ ) y dos homomorfismos de álgebras $A \to Ce$ y $B \to Ce^{\perp}$ . Aquí, $e^{\perp}:=1-e$ .

Answer 2

He entendido mal el problema. Martin señaló que es para $R$ -algebras, no $R$ -módulos.

Por lo tanto, esto es lo que creo que es correcto: $$R\langle x_i \mid f_i\rangle \otimes R\langle y_i \mid g_i\rangle = R\langle x_i, y_j \mid f_i, g_i, x_iy_j - y_jx_i\rangle.$$ La suma directa (basada en el coproducto de semigrupos) es $$R\langle x_i \mid f_i \rangle \oplus R\langle y_i \mid g_i\rangle = R\langle x_i, y_i \mid f_i, g_i \rangle. $$ El producto directo (basado en el producto de semigrupos) es $$ R\langle x_i \mid f_i \rangle \times R\langle y_i \mid g_i\rangle = R\langle x_i, y_i, e_1, e_2 \mid f_ie_1, g_ie_2, x_iy_j - y_jx_i, e_1 + e_2 - 1, e_1x_i - x_i, x_i - x_ie_1, e_2y_i - y_i, y_i - y_ie_2, e_1^2 - e_1, e_2^2 - e_2 \rangle. $$ Intuitivamente, $e_1$ representa $(1, 0)$ y $e_2$ representa $(0, 1)$ en el producto directo, mientras que los elementos originarios de $X$ y $Y$ se convierten en $(x, 0)$ y $(0, y)$ . La unidad del producto es $(1, 1) = e_1 + e_2$ .