¿Cómo se calcula la norma de una función que describe un orbital molecular?

Question

Estoy un poco confundido por una pregunta de un examen pasado que encontré para uno de mis cursos, que se muestra a continuación.

Las funciones de onda correspondientes a las más bajas, $\psi_{1}$ y el segundo más bajo, $\psi_{2}$ los orbitales moleculares de energía en el 1,3-butadieno son: $$\psi_{1}=0.372\phi_{1} + 0.602\phi_{2}+0.602\phi_{3} +0.372\phi_{4}$$ $$\psi_{2}=0.602\phi_{1} + 0.372\phi_{2}-0.372\phi_{3} -0.602\phi_{4}$$ donde $\phi_{i}$ es el $p_{z}$ orbital en el átomo $i$ . Calcular la norma de $\psi_{1}$ y el solapamiento entre $\psi_{1}$ y $\psi_{2}$ . ¿El resultado es el esperado? Explícalo.

No me ha salido ni el cálculo de la norma ni el solapamiento entre 2 orbitales de la forma que pide la pregunta. Supongo que por norma se refiere al factor de normalizacióng, pero eso no tiene sentido para mí, ya que ya está normalizado. Supongo que el solapamiento debería ser 0 ya que deberían ser ortonormales, pero no sé cómo demostrarlo. Me gustaría que me ayudaran. Lamentablemente, el profesor del curso ha contraído Covid-19 y, por tanto, no está disponible para responder a las preguntas.

Answer 1

No estoy seguro de si se pretende resolver esto mediante la teoría del orbital molecular de Hückel (véase Química LibreTexts ), sin embargo, si necesita calcular el norma de una función de onda $\Psi$ Esto es $|\Psi |$ . Teniendo en cuenta lo que sabemos en su post sobre ambos $\Psi_{1, 2}$ entonces \begin{align} |\Psi_1|^2 &= \langle\Psi_1 | \Psi_1\rangle \\ &= 2\cdot(0.602^2)+2 \cdot (0.372^2) \\ &= 1.001576 \\ \to |\Psi_1| &= 1.000788 > 1\\ \end{align} Escribo que esto es mayor que uno, ya que, en una inspección más cercana, se debe al redondeo de los coeficientes de cada $p_z$ orbital.

El proceso de repetición se puede encontrar para la parte de superposición, que estoy interpretando como $\langle\Psi_1 | \Psi_2\rangle$ .