Deje $x,y,z\in Z$, de tal manera que $\gcd(x,y)=\gcd(y,z)=\gcd(x,z)=1$.
Muestran que el número de soluciones a $$2013x^2+y^3=z^4$$ es infinito.
Este problema es de la China Olimpiada Matemática (No hay solución), y me mira de vez en cuando, pero no puede probarlo.
También encontré este difícil problema, creo que este problema tiene buenos métodos http://math.univ-lyon1.fr/~roblot/phi/Fermatlectures.pdf
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Para continuar achille hui de la discusión, voy a probar que si $u=1,v=2n,$ $(y,z)=1$ y, por tanto, $(x,z)=(x,y)=1.$
$x(n)=24 n \left(24156 n^2+1\right) \left(64834704 n^4-5368 n^2+1\right) \left(5251611024 n^4-48312 n^2+1\right)$
$y(n)=\left(24156 n^2-1\right)^4-2013 \left(193248 n^3+8 n\right)^2$
$z(n)=\left(24156 n^2-1\right) \left(583512336 n^4+144936 n^2+1\right)$
Deje $s(n)=78774165360 n^4+16087896 n^2-705$
$t(n)=1902868738436160 n^6-740477154384 n^4-12826836 n^2-1343$
Podemos comprobar que $y(n)s(n)-z(n)t(n)=-2048$ todos los $n\in\mathbb N.$
Por lo tanto, si $p\mid GCD(y(n),z(n))$ $p\mid 2048$ por lo tanto $p=2.$
Sin embargo, $y(n)$ $z(n)$ son ambos impares para todos los $n\in\mathbb N.$ por lo tanto $GCD(y(n),z(n))=1$ todos los $n\in\mathbb N.$
Esta no es una respuesta , porque no sé cómo lidiar con el requisito de que $x,y,z$ son parejas relativamente primos. Sin embargo, la ecuación
$$2013 x^2 + y^3 = z^4$$
tiene una infinidad de soluciones no triviales. Definir $$\begin{align} x(u,v) = & 12uv (6039v^2+u^2)(4052169v^4-1342u^2v^2+u^4)\\ & \quad\times\;(328225689v^4-12078u^2v^2+u^4)\\ \\ y(u,v) = & (u^2-6039v^2)^4-2013(24156uv^3+4u^3v)^2\\ z(u,v) = & (u^2-6039v^2)(36469521v^4+36234u^2v^2+u^4) \end{align}$$ Por fuerza bruta, se puede comprobar estas 3 funciones satisfacen $$2013 x(u,v)^2 + y(u,v)^3 = z(u,v)^4$$
No todos los $(u,v)$ nos dan triplete $(x,y,z)$ que son pares relativa prime. La primera pares relativa primer solución que me parece es generado mediante el establecimiento $(u,v)$$(2,1)$, esto nos da:
$$(x,y,z) = (192613207049468003592,1321800962978257,-220968344555)$$
Tal vez alguien va a tener una mejor idea de cómo extraer pares relativa primer soluciones a partir de esta lista de "parcial" de las soluciones.
